二阶线性微分方程的标准形式：

其中$p(x),q(x),f(x)$在某区间上连续。对应的齐次方程为

定理 1. (二阶线性定解问题的解的存在唯一性) $p(x), q(x), f(x)$在$(a,b)$上连续，$x_0\in(a,b)$为一定点，$y_0, y_1$为给定的实数。则 初值问题

在$x_0$的邻域内存在唯一的解$y(x)$。

特别，当$f(x)\equiv0$，$x_0=x_1=0$时，解为$y=0$。

证明超出范围。

定理 2. 若$y_1(x)$, $y_2(x)$是齐次方程

的解，$c_1$, $c_2$是任意常数，则$y_1(x)$与$y_2(x)$的线性组合

也是齐次方程的解。

定理 3. 若$y_1(x)$, $y_2(x)$是非齐次方程的两个解，则$y_1(x)-y_2(x)$是齐次方程的解。

若$y_0(x)$是非齐次方程的两个解，则$y(x)$是齐次方程的解，则$\tilde y(x)=y_0(x)+y(x)$仍然是非齐次方程的解。

从这两个定理可以知道，求出非齐次方程的一个解（称为特解）和齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

如何给出二阶齐次方程的通解？需要引入一些概念

定义 1. (线性相关与线性无关) 设函数$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$在区间$I$上有定义。 如果存在一组不全为0的常数$c_1$, $c_2$，使得线性组合

则称函数$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$在区间$I$上线性相关；否则，称它们在区间$I$上线性无关。

定理 4. (线性相关的必要条件) 函数$y_1(x)$, $y_2(x)$在区间$I$上可导，且线性相关，则有

定义 2. (朗斯基 (Wronski)行列式) 函数$y_1(x)$, $y_2(x)$在区间$I$上可导，

称为$y_1(x)$与$y_2(x)$的朗斯基 (Wronski)行列式

朗斯基 (Wronski)行列式为$0$是线性相关的必要条件，而不是充分条件。

例 1. $ y_1(x)=\begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x\leq 0\end{cases} $与$y_2(x)=\begin{cases} 0, & >0 \\ x^2, &x\leq 0\end{cases}$

解. $x>0$时，

$\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned} x^2 & & 0 \\2x & & 0 \end{aligned}\right|=0$

$x