插值问题详解

 注明出处：http://www.cnblogs.com/duye/p/8671820.html 

1. 

我在具体的应用（如数学建模竞赛）中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而通常情况下现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求。一般来说，我可以去调用MATLAB或者Python的一些库函数来实现，这个功能就是“插值”。然而这有个非常让我苦恼的问题，我可以从手册上知道这个函数实现“三次多项式插值”，那个函数实现“样条插值”.......但究竟在什么情况下使用何种插值方法呢？若不对插值方法做深入的学习，这个疑团恐难以解开。

于是，在这个原因驱动之下，我决定对常见、常用的插值方法比较深入的学习一下。我希望读者也是基于这个原因来读这篇文章，希望我的总结能对你有所帮助。

2. 插值

简单讲，插值就是根据已知数据点（条件），来预测未知数据点值得方法。具体来说，假如你有n个已知条件，就可以求一个n-1次的插值函数P（x），使得P（x）接近未知原函数f（x），并由插值函数预测出你需要的未知点值。而又n个条件求n-1次P（x）的过程，实际上就是求n元一次线性方程组。

代数插值

代数插值就是多项式插值，即所求插值函数为多项式函数：

显然，系数a0.....an为所求。如果已知n+1个条件，需要n+1个方程组如下：

这时，便可以用待定系数求解。

一、泰勒插值

首先需要回顾泰勒多项式：

因而，泰勒插值的条件就是已知0-n阶的导数：

余项：

满足n阶可导这个条件实在是太苛刻，导致实际上泰勒插值并不常用，下面介绍拉格朗日插值与牛顿插值，这两种方法在本质上是相同的。

二、拉格朗日插值

上面引论中提到，一般来说多项式插值就是求n-1个线性方程的解，拉格朗日插值即是基于此思想。拉格朗日创造性的避开的方程组求解的复杂性，引入“基函数”这一概念，使得快速手工求解成为可能。

DEF：求作