【高等数学】四.多元函数微分学和二重积分 |
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【高等数学】四.多元函数微分学和二重积分
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多元函数微分学
一、基本概念
需要熟练掌握概念的描述，容易考选择题。 1.平面点集的概念正向证明有点难，可以反向证伪 lim x → x 0 , y → y 0 ( x , y ) = A \lim_{x\to x_0,y\to y_0}(x,y) = A x→x0,y→y0lim(x,y)=A 多元微分下洛必达、泰勒展开、单调有界准则不可用 并且极限会排除不存在的路径，要求的是每个方向的极限都存在并且相等 因此求极限是否存在，关键在于是否存在特殊路径，使得极限不一致 3.连续lim x → x 0 , y → y 0 ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim_{x\to x_0,y\to y_0}(x,y) = f(x_0,y_0) x→x0,y→y0lim(x,y)=f(x0,y0) 如果f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上有界 4.偏导数lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) Δ x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)+f(x_0,y_0)}{\Delta x} Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)+f(x0,y0) 存在，则称此为极限f(x,y)对x的偏导 TIPS 二阶偏导数 f x y ′ f ( x , y ) f'_{xy}f(x,y) fxy′f(x,y)和 f y x ′ f ( x , y ) f'_{yx}f(x,y) fyx′f(x,y)是同样的在 f ( x , y 0 ) = 0 f(x,y_0)=0 f(x,y0)=0的情况下， f x ′ ( x , y 0 ) = [ f ( x , y 0 ) ] x ′ = f x ′ ( x , y ) ∣ y = y 0 f'_x(x,y_0)=[f(x,y_0)]'_x=f'_x(x,y)|_{y=y_0} fx′(x,y0)=[f(x,y0)]x′=fx′(x,y)∣y=y0注意：多元微分中的 ∂ z ∂ x \frac{∂z}{∂x} ∂x∂z不可拆分看成 ∂ z ∂z ∂z除以 ∂ x ∂x ∂x，这和一元函数中的 d z d x \frac{dz}{dx} dxdz不一样，数值上 ∂ z ∂ x \frac{∂z}{∂x} ∂x∂z和 F x ′ F z ′ \frac{F'_x}{F'_z} Fz′Fx′一样 5.偏导数连续对于z=f(x,y)讨论在某特殊点(x0,y0)是否连续，其步骤为： 用定义法求 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0,y_0), f'_y(x_0,y_0) fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)用公式法求 f x ′ ( x , y ) , f y ′ ( x , y ) f'_x(x,y), f'_y(x,y) fx′(x,y),fy′(x,y)计算 lim x → x 0 , y → y 0 f x ′ ( x , y ) \lim_{x\to x_0, y\to y_0}f'_x(x,y) limx→x0,y→y0fx′(x,y)和 lim x → x 0 , y → y 0 f y ′ ( x , y ) \lim_{x\to x_0, y\to y_0}f'_y(x,y) limx→x0,y→y0fy′(x,y)，分别比较是否和 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0,y_0), f'_y(x_0,y_0) fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)相等，如果相等则在点(x0,y0)处偏导数连续∂x和dx的区别是什么？TIPS:求极限的时候，可以将极限已确认的部分提出用于简化计算 6.可微分全增量减去各个自变量的偏增量部分的极限为0则可微分 求可微的步骤： 写出全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)写出线性增量 A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy，其中 Δ x = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , Δ y = f y ′ ( x 0 , y 0 ) \Delta x=f'_x(x_0,y_0),\Delta y=f'_y(x_0,y_0) Δx=fx′(x0,y0),Δy=fy′(x0,y0)作极限 lim Δ x → x 0 , Δ y → y 0 Δ z − ( A Δ x + B Δ y ) ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \lim_{\Delta x \to x_0, \Delta y \to y_0}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} Δx→x0,Δy→y0lim(Δx)2+(Δy)2 Δz−(AΔx+BΔy)如果极限为0，则可微，反之则不可微TIPS：在第3步判断是否可微的时候，如果最后的结果有两个变量不好计算，可以取特殊路径，比如令 x → x 0 , y → k x x\to x_0, y\to kx x→x0,y→kx 二、多元微分计算 2.1复合函数求导法 1.链式求导规则
比如对于y=f(u), u=g(x)，有
y
x
′
=
y
u
′
⋅
u
x
′
y'_x=y'_u\cdot u'_x
yx′=yu′⋅ux′，也可以表示为：
d
y
=
y
u
′
d
u
=
y
x
′
d
x
dy=y'_udu=y'_xdx
dy=yu′du=yx′dx，这个是一元微分的不变性 此法又称为隐函数存在定理 设F(x,y,z)=0,在点P0(x0,y0,z0)处满足 F ( P 0 ) = 0 F(P_0)=0 F(P0)=0并且 F z ′ ( P 0 ) ≠ 0 F'_z(P_0)\neq 0 Fz′(P0)=0则在P0的某邻域内可确定z=z(x,y)并且有 ∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ ， ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \frac{∂z}{∂x}=-\frac{F'_x}{F'_z}，\frac{∂z}{∂y}=-\frac{F'_y}{F'_z} ∂x∂z=−Fz′Fx′，∂y∂z=−Fz′Fy′
多元微分的计算的三大基本思路是：1.链式求导规则2.隐函数存在定理（公式法）还有3.全微分形式不变性 隐函数定理：由隐函数推导出普通函数及其微分的定理 对于一般的多元微分计算，考虑三种方法：公式法、全微分、偏微分求导法 TIPS： 对于难以求偏导的，可以使用先代入具体点，后求解。这一点不只是可以用于一阶求导，也可以在知道一阶导数，但是二阶导数求导十分复杂时用于简化二阶导数式子。这种方法可用范围十分广泛，包括隐函数都能用幂指函数多元微分：换元法、对数化（两边加ln）、指数化对于拉格朗日乘数法求条件极值仍需要加强理解，以及30讲练习11.5如果出现微分难以计算，可以试试交换下求导次序对于一些求微分的题目，可以试试将其转化为隐函数然后使用公式法，可能会更快注意：多元微分中的 ∂ z ∂ x \frac{∂z}{∂x} ∂x∂z不可拆分看成 ∂ z ∂z ∂z除以 ∂ x ∂x ∂x，这和一元函数中的 d z d x \frac{dz}{dx} dxdz不一样，数值上 ∂ z ∂ x \frac{∂z}{∂x} ∂x∂z和 F x ′ F z ′ \frac{F'_x}{F'_z} Fz′Fx′一样 三、极值和最值问题三大考察点：概念、无条件极值、有条件极值 3.1 无条件极值先找必要条件： 点X0(x0,y0)使得f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0，则点X0为驻点，是可能的极值点 再找充分条件 令 { f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A > 0 f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = f y x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C \left\{ \begin{aligned} f''_{xx}(x_0,y_0) & = A>0 \\ f''_{xy}(x_0,y_0) & = f''_{yx}(x_0,y_0)=B \\ f''_{yy}(x_0,y_0) & = C \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)fxy′′(x0,y0)fyy′′(x0,y0)=A>0=fyx′′(x0,y0)=B=C 当 Δ = A C − B 2 > 0 \Delta=AC-B^2>0 Δ=AC−B2>0并且 f x x ′ ′ > 0 f''_{xx}>0 fxx′′>0时， f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0)为极小值当 Δ = A C − B 2 > 0 \Delta=AC-B^2>0 Δ=AC−B2>0并且 f x x ′ ′ < 0 f''_{xx} |
全微分形式不变指出：全微分既可以用最终变量表示，也可以用中间变量表示。这使得微分的表示不一定要用最终的x,y表示，也可以用中间变量u，v表示，从而隐藏了一部分复杂的关系细节，在复合关系难以理清的时候，可以使用。
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