Undergraduate course, China University of Petroleum at Beijing, Department of Science, 2020

这部分介绍多元函数重积分及其应用。

☘︎ 二重积分的概念

考察一个曲顶柱体: 它的底是$xOy$面上的具有零边界的有界区域$D$，顶是非负连续函数$z = f(x,y), (x,y) \in D$所确定的曲面，侧面是以$D$的边界曲线为准线，母线平行于$z$轴的柱面。如下图所示(本图来源于Thomas’ Calculus, 13/e)：

为了得到该曲顶柱体的体积:

在第$k$个小矩形上任意取一点$(x_k, y_k) \in A_k(k=1,2,\cdots,n)$，然后求和(黎曼和)得到：

把每个小矩形的直径记为$\lambda_k$，这里直径指的是小矩形中两点连线最长的长度。令

称$\Vert P \Vert$为分割细度。黎曼和对分割的细度取极限，讨论极限：

如果随着分割细度趋于零，黎曼和的极限存在，我们称此极限值为$f(x,y)$在$D$上的定积分。记为：

除了采用平行于坐标轴的直线网分割外，也可以采用曲线网分割定义域。不同的分割会得到不同的积分方法。

☘︎二重积分的性质

二重积分$\iint\limits_{D} f(x, y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y$具有以下性质：

，其中$s(D)$表示区域$D$的面积;

📚第一次作业:

根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

$\iint\limits_{D} (x+y)^2\, \mathrm{d}A$ 与$\iint\limits_{D} (x+y)^3\, \mathrm{d}A$，其中积分区域$D$是由$x$轴，$y$轴与直线$x+y=1$所围成。

$\iint\limits_{D} \ln(x+y)\, \mathrm{d}A$ 与$\iint\limits_{D} \left[\ln(x+y)\right]^2\, \mathrm{d}A$，其中积分区域$D$由$3 \le x \le 5, 0 \le y \le 1$所围成的区域。

根据二重积分的性质，估计下列积分的大小：

$I = \iint\limits_{D} xy(x+y)\, \mathrm{d}\sigma$，其中$D$由$\vert 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$所围成的区域；

$I = \iint\limits_{D} (x^2 + 4y^2 + 9)\, \mathrm{d}\sigma$，其中$D$由$x^2 + y^2 \le 4$所围成的区域.

下面讨论二重积分$\iint\limits_{D} f(x, y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y$的🧮计算问题。

直交坐标下二重积分的计算：Fubini定理

假设我们计算由$z = f(x,y)$在区域$D: -1 \le x \le 3, -2 \le y \le 3$上围成的曲顶柱体的体积。由截面法求体积得到，该曲顶柱体的体积为：

其中$A(x)$为：

将$(2)$式代入$(1)$式得到：

见下图：

对称地，先对坐标$x$积分，然后对坐标$y$积分，得到：

见下图：

Fubini定理

设$z = f(x,y)$在区域$D: a \le x \le b, c \le y \le d$上连续，则有：

对于一般性区域$D$，分析以下两种情形：

情形一： $D: a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)$. 对于该类型区域积分可以表示为：

情形二： $D: c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y)$. 对于该类型区域积分可以表示为：

见下图(本图来源于Thomas’ Calculus, 13/e)：

Fubini定理

设$z = f(x,y)$在区域$D$上连续，如果

$D: a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)$，这里$g_1(x), g_2(x)$为$[a,b]$上的连续函数， 则有：

$D: c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y)$，这里$h_1(x), h_2(x)$为$[c,d]$上的连续函数，则有：

✏️例子

计算$\iint\limits_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由直线$y = 1, x = 2, y = x$所围成的闭区域。

✏️例子

计算积分$\iint\limits_{R} \dfrac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$R$由$x$轴$y=x$及$x=1$围成的闭区域。

✏️例子

求两个圆柱面$x^2 + y^2 = R^2, x^2 + z^2 = R^2$所围成立体的体积。

✏️例子

交换积分的顺序$\int_0^2 \int_{x^2}^{2x}(4x + 2)\mathrm{d}y \mathrm{d}x$

极坐标下二重积分的计算

极坐标

平面上的点可以用直角坐标$(x,y)$表示，也可以用极坐标$(r, \theta)$表示，见下图：

极坐标系下求区域的面积

定积分为求解不规则问题的一种方法，该方法简而言之可概括为“分割，取近似（微分或者线性化），求和，取极限。”

求曲边梯形的面积：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}F(x)$，积分为微分的累加，而微分为所求问题增量的线性近似。

下面探讨极坐标下图形的面积：

$S = \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta$

极坐标下求二重积

首先推导一下极坐标下求二重积分。设区域$R: \alpha \le \theta \le \beta, g_1(\theta) \le r \le g_2(\theta)$。采用

分割该区域，则定义在区域$R$上的二重积分可以近似的表示为：

这里$\Delta A_k$表示第$k$块小区域的面积，$r_k, \theta_k$为在地$k$块区域上的取值。见下图：

二重积分可表示为：

接下来我们来分析$(8)$式中$\mathrm{d}A$的表示。

所以有：

故

确定积分范围的步骤

画出图形，写出边界曲线方程和交点的坐标；

找到极坐标中$r$的上下限，通俗的讲，找到极径的起始穿入边界和终止穿出边界。

找到极坐标中$\theta$的上下限，找到$\theta$的最小、最大值使积分区域落入该区域中。

写出积分表达式：

✏️例子

求位于曲线$r = 1$的外面，$r = 1 + \cos \theta$内部区域的面积。

✏️例子

求球体$x^2 + y^2 + z^2 \le 4R^2$被圆柱面$x^2 + y^2=2Rx(R>0)$所截所得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。见下图：

✏️例子

转换直角坐标为极坐标积分$\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} e^{-x^2 - y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$，并计算泊松积分$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\, \mathrm{d}x$

📚第二次作业:

设$f(x,y)$在区域$D$上连续，试将二重积分$\iint\limits_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}A$化为不同顺序的累次积分：

$D$由不等式$0 \le x \le 2, x \le y \le 2x$所围成的区域;

$D$由不等式$y \le x, y \ge 0, x^2 + y^2 \le 1$所围成的区域；

$D$由不等式$x^2 + y^2 \le 1, x+y \ge 1$所围成的区域；

$D$由不等式$\vert x \vert + \vert y \vert \le 1$所围成的区域.

改变下列累次积分的顺序：

$\int_{-1}^{1}\, \mathrm{d}x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2}f(x,y)\,\mathrm{d}y$;

$\int_{0}^{2a}\, \mathrm{d}x \int_{\sqrt{2ax-x^2}}^{\sqrt{2ax}}f(x,y)\,\mathrm{d}y$;

$\int_{0}^{1}\, \mathrm{d}x \int_{0}^{x^2}f(x,y)\,\mathrm{d}y + \int_{1}^{3}\,\mathrm{d}x\int_0^{\dfrac{1}{2}(3-x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y$.

计算下列二重积分

$\iint\limits_{D}x\sqrt{y}\, \mathrm{d}A$，其中$D$由抛物线$y = \sqrt{x},y = x^2$所围成的区域；

$\iint\limits_{D}xy^2\, \mathrm{d}A$，其中$D$由圆周$x^2 + y^2 = 4$及$y$轴所围成的圆周的右半部分；

$\iint\limits_{D}e^{x+y}\, \mathrm{d}A$，其中$D$由圆周$\vert x \vert + \vert y \vert \le 1$所围成的区域；

化下列二次积分为极坐标的累次积分：

$\int_0^1\,\mathrm{d}x\int_0^1f(x,y)\,\mathrm{d}y$;

$\int_0^2\,\mathrm{d}x\int_x^{\sqrt{3x}}f(\sqrt{x^2+y^2})\,\mathrm{d}y$;

$\int_0^1\,\mathrm{d}x\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,\mathrm{d}y$;

$\int_0^1\,\mathrm{d}x\int_0^{x^2}f(x,y)\,\mathrm{d}y$;

计算下列二重积分(极坐标系)：

$\int_0^{2a}\,\mathrm{d}x\int_0^{\sqrt{2ax-x^2}}x^2 + y^2\,\mathrm{d}y$;

$\int_0^{a}\,\mathrm{d}x\int_0^x \sqrt{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y$;

$\iint\limits_{D} e^{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}A$,其中$D$由圆周$x^2 + y^2 \le 4$所围成的区域.

假设$F(x,y,z)$为定义在空间区域$D$上的一个连续函数(比如说是密度函数)，采用平行于坐标平面的平面网分割区域$D$。在第$k$个小长方体任意取一点$(x_k, y_k, z_k) \in \Delta V_k$，该长方体的边长分别为$\Delta x, \Delta y, \Delta z$。作和式：

如果当分割的细度趋于零时，上式的极限存在，即

存在，我们称$F(x, y, z)$在$D$上可积，记为：

直角坐标下计算三重积分

计算步骤如下：

画出积分区域，并画出在坐标平面上的投影区域。

在投影区域上选取一点$(x,y)$，平行于$z$轴作射线，找到区域$D$的穿入曲面(积分的下限)和穿出曲面(积分的上限)。

在投影区域上$R$作射线，找到$y$的穿入边界和穿出边界。下图：射线的穿入边界为$g_1(x)$，穿出边界为$g_2(x)$。这些是$y$的积分上下限。

找到$x$的变换范围，最后将重积分转化为累次积分：

✏️例子

✏️例子

✏️例子

✏️例子

柱坐标下三重积分的计算

设$f(x,y,z)$定义在空间几何体$D$上，采用$r = r_1, r_2, \cdots, r_m, \theta = \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n, z = z_1, z_2, \cdots, z_k$分割几何体$D$(该分割记为$P$)。这是体积元素为:

其计算见下图：

当分割的细度趋于零时，若极限存在，记为：

柱坐标下积分计算的步骤

画出空间区域$D$,并画出该几何体在坐标平面上的投影，写出边界曲面的方程。

在投影区域上任取一点，作平行于$z$轴的平行线，找到射线的穿入边界(曲面)和穿出边界(曲面)。注意把边界曲面表达为极坐标的形式。

对投影区域，找到$r,\theta$的变化范围。在$xOy$平面上从原点出发画射线穿越投影区域，确定$r,\theta$的变换范围。

把重积分写为累次积分的形式，注意积分元素为：$\mathrm{d}zr\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$.

✏️例子

球坐标系

球坐标下的三重积分

设$f(x,y,z)$定义在空间几何体$D$上，采用$\rho = \rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_m, \phi = \phi_1,\phi_2, \cdots, \phi_n, \theta = \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$分割几何体(分割记为$P$)。体积元素为：$\Delta V_k = \rho_k^2 \sin \phi_k \Delta \phi_k \Delta \rho_k \Delta \theta_k $

若当分割$P$的细度趋于零时，和式极限存在，记为：

球坐标系积分计算步骤

找出$\rho$的积分上下限。过原点作射线，该射线穿越积分几何体。找到射线的穿入边界(积分下限)和穿出边界(积分上限)。注意：几何体的边界曲面需要用球坐标表示;

找到$\phi$的变化范围:从$z$轴的正向开始，向$xOy$面倾斜。找到$\phi$的变化范围，即$\phi$的积分下限和上限；

找到$\theta$的变化范围：从$(0,0,0)$点出发，在$xOy$面上作射线穿越投影区域，找到$\theta$的变化范围，即$\theta$积分的下限和上限。

转换三重积分为球坐标系下的累次积分。

✏️例子

📚第三次作业:

计算下列积分：

$\iiint\limits_{V} (xy + z^2)\, \mathrm{d}v$，其中$V = [-2, 5] \times [-3, 3] \times [0,1]$;

$\iiint\limits_{V} x \cos y \cos z\, \mathrm{d}v$，其中$V = [0, 1] \times \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \times \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$;

$\iiint\limits_{V} (x + y + z)^2\, \mathrm{d}v$，其中$V$由曲面$z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$以及$z = x^2 + y^2$所围成的闭区域;

$\iiint\limits_{V} (x + y + z)^2\, \mathrm{d}v$，其中$V$由曲面$z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$以及$z = 0$所围成的闭区域;

曲面的表面积

设一空间曲面，其方程为$f(x,y,z)=c$，其在坐标平面上的投影为$R$,见下图。如何求解该曲面的面积？

则有：

空间曲面如果可以表达为$z=f(x,y)$

若空间曲面的方程为$z = f(x,y),(x,y) \in R$，则

这时，曲面的面积表达式为：

✏️例子

📚第四次作业:

求球面$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$含在柱面$x^2 + y^2 = ax$内部的那部分面积。

求底圆半径相等的两个直交圆柱面$x^2 + y^2 = R^2$及$x^2 + z^2 = R^2$所围立体的表面积。

📖1. 《高等数学》上下册（第七版），同济大学，高等教育出版社，2014.7.

📖2. 《数学分析》上下册（第二版），陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，2004.

📖3. 《数学分析》上下册（第二版），华东师范大学数学系，高等教育出版社，2010.

📖4. Mathematical Analysis I,II, 2nd ed. V. A. Zorich, Springer, 2015.

📖5. 数学分析中的典型问题与方法, 裴礼文, 高等教育出版社, 2015.

📖6. Thomas’s Calculus, Weir, Maurice D etc., Addison-Wesley, 2010.