通过教学，使学生掌握运用极限思想构造曲顶柱体的体积、非均质平面薄板的质量等方法，从而理解引入二重积分的意义。

教学重点：二重积分的概念

教学难点：理解曲顶柱体体积的思想

在教学方法上采用探索发现法和启发式讲解法，在提出曲顶柱体体积问题后通过复习曲边梯形面积的求法，引导学生自己解决求曲顶柱体体积的问题。充分调动学生学习的积极性，力求使学生在学习过程中学到研究问题、解决问题的方法。

本节课还可充分发挥多媒体直观、形象的动态功能。创设问题情境，改善认知环境，模拟动态效果，帮助学生解决问题。使课堂教学变得生动、有趣、高效。从而突出重点、突破难点。

引言：在一元函数积分学中我们曾经从研究曲边梯形的面积及变速直线运动的路程出发抽象出了定积分的定义。我们可以简单的把这一过程概括为

“分割、近似、求和、取极限”

这里定积分是某种特定和式的极限，将这种求解问题的极限思想推广到定义域在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分、曲面积分的概念。

下面我们就用类似的方法研究曲顶拄体体积及非均质平面薄板的质量，并从中抽象出二重积分的概念。

通过回忆用极限思想方法求曲边梯形面积引导学生主动探究曲顶柱体体积的求法及非均质平面薄板质量的求法。

问题1  设有一立体，它的底是面上的闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，这里且在上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要求该曲顶柱体的体积.

由于曲顶柱体的高是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用求曲边梯形面积的思想方法，即通过

分割：将区域任意分成个小区域

近似：在每个上任取一点（见图1）,则

求和：在将上式累加，得

取极限：令中的最大直径趋于0，得

问题2  设有一平面薄片占有面上的闭区域，它在点处的面密度为，这里且在上连续。现在要计算该薄片的质量。

分析：由于面密度是变量，薄片的质量不能直接用密度公式来计算。但是连续的，利用积分的思想，

分割：将区域任意分成个小区域

近似：在每个上任取一点（见图2），则   

求和：在将上式累加，得

取极限：令中的最大直径趋于0，得

其实，在现实生活中还有很多量的求解都最终归结为上述类似和3的极限。为了在数学上统一研究这一类问题，我们引入下面的定义。

定义  设是有界闭区域上的有界函数。将闭区域任意分成个小闭区域

其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个上任取一点，作乘积

并作和

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这个和式（叫做积分和）的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作

其中叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域。

为了深刻理解二重积分的概念，我们给出以下几点说明：

说明1  在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域的边长为和，则。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素记作，而把二重积分记作

其中叫做直角坐标系中的面积元素。

说明2  当在闭区域上连续时, 积分和的极限必定存在，也就是说，函数在上的二重积分必定存在。

思考题：请同学们将二重积分与定积分的定义进行比较，找出它们的相同点和不同点。

相同点：定积分与二重积分都表示某个和式的极限，且极限值只与被积函数及积分区域有关。

不同点：定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数。

            二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数。

围绕概念举例加深学生对概念的理解。

例  利用二重积分定义证明：

（1）设为的面积，则

（2）设为两个无公共内点的闭区域，在闭区域上连续，则

  解  （1）由于被积函数。故由二重积分定义得：

如：当，则有

（2）在闭区域上连续，从而可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总是不变的。在分割时，可以使和的公共边界永远是一条分割线，这样在上的积分和就等于上的积分和加上的积分和。记作：

在上式两端令所有的直径最大值取极限，即得