二进制表示的机器数在相对于小数点作n位左移或右移时，其实质就是该数乘以或除以 2n 2 n 。当某计算机没有乘除法运算线路时，可以采用移位和加法相结合，实现乘除运算。   计算机中机器数的字长往往是固定的，当机器数左移n位或右移n位时，必然会使其n位低位或n位高位出现空位。对有符号数的移位称为算数移位。

  对于正数，由于 [x]原=[x]补=[x]反= [ x ] 原 = [ x ] 补 = [ x ] 反 = 真值，故移位后出现的空位均以0添之。对于负数，由于原码、补码和反码的表示形式不同，故当机器数移位时，对其空位的填补规则也不同。   不论是整数还是负数，移位后其符号位均不变。

  对于正数，三种机器数移位后符号位均不变，左移时最高数位丢1，结果出错；右移时最低数位丢1，影响精度。   对于负数，三种机器数算术移位后符号位均不变。负数的原码左移时，高位丢1，结果出错；右移时，低位丢1，影响精度。负数的补码左移时，高位丢0，结果出错；右移时，低位丢1，影响精度。负数的反码左移时，高位丢0，结果出错；右移时，低位丢0，影响精度。

  有符号数的移位称为算数移位，无符号数的移位称为逻辑移位。逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移丢，低位添0；逻辑右移时，低位移丢，高位添0。为了避免算术左移时最高数位丢1，可采用带进位（ Cy C y ）的移位。算术左移时，符号位移至 Cy C y ，最高数位就可避免移丢。

  补码加法的基本公式如下：   整数   [A]补+[B]补=[A+B]补（mod 2n+1） [ A ] 补 + [ B ] 补 = [ A + B ] 补 （ m o d   2 n + 1 ）   小数   [A]补+[B]补=[A+B]补（mod 2） [ A ] 补 + [ B ] 补 = [ A + B ] 补 （ m o d   2 ）

  即补码表示的两个数在进行加法运算时，可以把符号位与数值等同处理，只要结果不超出机器能表示的数值范围，运算后的结果按 2n+1 2 n + 1 取模（对于整数）或按 2 2 取模（对于小数），就能得到本次加法的运算结果。

  补码减法的基本公式如下：   整数   [A−B]补=[A]补+[−B]补（mod 2n+1）[A−B]补=[A]补+[−B]补（mod 2n+1）   小数   [A−B]补=[A]补+[−B]补（mod 2） [ A − B ] 补 = [ A ] 补 + [ − B ] 补 （ m o d   2 ）

  而 [−B]补 [ − B ] 补 由 [B]补 [ B ] 补 连同符号位在内，每位取反，末位加1而得。

  不论操作数是正还是负，在做补码加减法时，只需将符号位和数值部分一起参加运算，并且将符号位产生的进位自然丢掉即可。   这种超出机器字长的现象叫溢出。为此，在补码定点加减运算过程中，必须对结果是否溢出做出明确的判断。

  （1）用一位符号位判断溢出   对于加法，只有在正数加正数和负数加负数两种情况下才可能出现溢出，符号位不同的两个数相加是不会溢出的。   对于减法，只有在正数减负数或负数减正数两种情况下才可能出现溢出，符号位相同的两个数相减是不会溢出的。

  只要实际参加操作的两个数符号相同，结果又与原操作数的符号不同，即为溢出。   计算机中采用1位符号位判断时，为了节省时间，通常用符号位产生的进位与最高位有效位产生的进位异或操作后，按其结果进行判断。若异或结果为1，即为溢出；异或结果为0，则无溢出。

  （2）用两位符号位判断溢出   2为符号位的补码，即变形补码，它是以4为模的，其定义为

  在用变形补码作加法时，2位符号位要连同数值部分一起参加运算，而且高位符号位产生的进位自动丢失，便可得正确结果，即

  其中A存放被加数（或被减数）的补码，X存放加数（或减数）的补码。当作减法时，由“求补控制逻辑”将 X¯¯¯¯ X ¯ 送至加法器，并将加法器的最末位外来进位为1，以达到对减数求补的目的。运算结果溢出时，通过溢出判断电路置“1”溢出标记V。 GA G A 为加法标记， GS G S 为减法标记。

  两数相乘的过程，可视为加法和移位两种运算。

  例：设A=0.1101，B=0.1011，求 A×B A × B 。

  运算规则如下：

  用一个寄存器存放被乘数，一个寄存器存放乘积的高位，另一个寄存器存放乘数及乘积的低位，再配上加法器及其他相应电路，就可组成乘法器。又因加法志在部分积的高位进行，故不但节省了器材，而且还缩短了运算时间。

  上述讨论结果可直接用于原码一位乘，只需加上符号位处理即可。

（1）原码一位乘运算规则

  以小数为例：   设   [x]原=x0.x1x2…xn [ x ] 原 = x 0 . x 1 x 2 … x n       [y]原=y0.y1y2…yn [ y ] 原 = y 0 . y 1 y 2 … y n   则 [x]原⋅[y]原=x0⊕y0.(0.x1x2…xn)(0.y1y2…yn) [ x ] 原 ⋅ [ y ] 原 = x 0 ⊕ y 0 . ( 0. x 1 x 2 … x n ) ( 0. y 1 y 2 … y n )   式中， 0.x1x2…xn 0. x 1 x 2 … x n 为x的绝对值，记作 x∗ x ∗ ;； 0.y1y2…yn 0. y 1 y 2 … y n 为y的绝对值，记作 y∗ y ∗ 。

  原码一位乘运算规则：

  例：已知x=-0.1110，y=-0.1101，求 [x⋅y]原 [ x ⋅ y ] 原 。

  故 [x⋅y]原=0.10110110 [ x ⋅ y ] 原 = 0.10110110

  注：这里部分积取n+1位，以便存放乘法过程中绝对值大于或等于1的值。此外，由于乘积的数值部分是两数绝对值相乘的结果，故原码一位乘法运算过程中的右移操作均为逻辑右移。

（2）原码一位乘运所需的硬件配置

  A、X、Q均为n+1位的寄存器，其中X存放被乘数的原码，Q存放乘数的原码。移位和加控制电路受末尾乘数 Qn Q n 的控制（当 Qn=1 Q n = 1 时，A和X内容相加后，A、Q右移移位；当 Qn=0 Q n = 0 时，只作A、Q右移一位的操作）。计数器C用于控制逐位相乘的次数。S存放乘积的符号。 GM G M 为乘法标记。

（3）原码一位乘控制流程

  为了提高乘法速度，可采用原码两位乘。

（4）原码两位乘   原码两位乘是用两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，因此可提高运算速度。

  表中3倍被乘数的获得较难。此刻可将3视为4-1，即把乘以3分两步完成：第一步先完成减1倍被乘数的操作，第二步完成加4倍被乘数的操作。而加4倍被乘数的操作实际上是由比“11”高的两位乘数代替完成的，可看作是在高两位乘数上加“1”。这个“1”暂存在 Ci C i 触发器中。机器完成 Ci C i 置“1”，即意味着对高两位乘数加1，也即要求高两位乘数代替本两位乘数“11”来完成加4倍被乘数的操作。

  表中z表示原有部分积， x∗ x ∗ 表示被乘数的绝对值， y∗ y ∗ 表示乘数的绝对值，当进行 −x∗ − x ∗ 运算时，一般都采用加 [−x∗]补 [ − x ∗ ] 补 来实现。

  为了统一用两位乘数和一位 Ci C i 共同配合管理全部操作，与原码一位乘不同的是，需在乘数（当乘数位数为偶数时）的最高位前增加两个0。当乘数最高两个有效位出现“11”时，需将 Cj C j 置为“1”，再与所添补的两个0结合呈001状态，以完成加 x∗ x ∗ 的操作*（此步不必移位）。

  例：设x=0.111111，y=-0.111001，用原码两位乘求 [x⋅y]原 [ x ⋅ y ] 原 。

  故 [x⋅y]原=1.111000000111 [ x ⋅ y ] 原 = 1.111000000111

  注：当乘数为偶数时，需要做n/2次移位，最多做n/2+1次加法。当乘数为奇数时，乘数高位前可只增加一个"0"，此时需做n/2+1次移位（最后一步移一位），最多需做n/2+1次加法。

（1）补码一位乘运算规则   设   [x]补=x0.x1x2…xn [ x ] 补 = x 0 . x 1 x 2 … x n       [y]补=y0.y1y2…yn [ y ] 补 = y 0 . y 1 y 2 … y n

  1）被乘数x符号任意，乘数y符号为正

  则 [x⋅y]补=[x]补⋅[y]补=[x]补⋅y [ x ⋅ y ] 补 = [ x ] 补 ⋅ [ y ] 补 = [ x ] 补 ⋅ y   当乘数y为正数时，不管被乘数x符号如何，都可按原码乘法的规则运算。

  2）被乘数x符号任意，乘数y符号为负   则 [x⋅y]补=[x]补(0.y1y2…yn)+[−x]补 [ x ⋅ y ] 补 = [ x ] 补 ( 0. y 1 y 2 … y n ) + [ − x ] 补   当乘数为负时是把乘数的补码 [y]补 [ y ] 补 去掉符号位，当成一个正数与 [x]补 [ x ] 补 相乘，然后加上 [−x]补 [ − x ] 补 进行校正，也称校正法。

  例：已知 [x]补=1.0101 [ x ] 补 = 1.0101 ， [y]补=0.1101 [ y ] 补 = 0.1101 ，求 [x⋅y]补 [ x ⋅ y ] 补 。

  故乘积 [x⋅y]补=1.01110001 [ x ⋅ y ] 补 = 1.01110001 。

  校正法与乘数的符号有关，虽然可将乘数和被乘数互换，使乘数保持正，不必校正，但当两数均为负时必须校正。实现校正法的控制线路比较复杂。若不考虑操作数的符号，用统一的规则进行运算可采用比较法。

  3）被乘数x和乘数y符号均为任意   比较法又称Booth算法。

  设   [x]补=x0.x1x2…xn [ x ] 补 = x 0 . x 1 x 2 … x n       [y]补=y0.y1y2…yn [ y ] 补 = y 0 . y 1 y 2 … y n   则 [x⋅y]补=[x]补(0.y1y2…yn)−[x]补⋅y0 [ x ⋅ y ] 补 = [ x ] 补 ( 0. y 1 y 2 … y n ) − [ x ] 补 ⋅ y 0

  在mod 2的前提下， [−x]补=−[x]补 [ − x ] 补 = − [ x ] 补 成立。   则 [x⋅y]补=[x]补(y12−1+y22−2+…+yn2−n−[x]补⋅y0) [ x ⋅ y ] 补 = [ x ] 补 ( y 1 2 − 1 + y 2 2 − 2 + … + y n 2 − n − [ x ] 补 ⋅ y 0 )         =[x]补[(y1−y0)+(y2−y1)2−1+…+(yn+1−yn)2−n] = [ x ] 补 [ ( y 1 − y 0 ) + ( y 2 − y 1 ) 2 − 1 + … + ( y n + 1 − y n ) 2 − n ]   其中 yn+1=0 y n + 1 = 0 。

  开始时 yn+1=0 y n + 1 = 0 ，部分积初值 [z0]补 [ z 0 ] 补 为0，每一步乘法由 (yi+1−yi) ( y i + 1 − y i ) （i=1,2,…，n）决定原部分积加 [x]补 [ x ] 补 或加 [−x]补 [ − x ] 补 或加0，再右移一位得新的部分积，以此重复n步。第n+1步由 (y1−y0) ( y 1 − y 0 ) 决定原部分积加 [x]补 [ x ] 补 或加 [−x]补 [ − x ] 补 或加0，但不移位，即得 [x⋅y]补 [ x ⋅ y ] 补 。

  例：已知 [x]补=0.1101 [ x ] 补 = 0.1101 ， [y]补=0.1011 [ y ] 补 = 0.1011 ，求 [x⋅y]补 [ x ⋅ y ] 补 。

  故 [x⋅y]补=0.10001111 [ x ⋅ y ] 补 = 0.10001111 。

  Booth算法的部分积仍取双符号位，乘数因符号位参加运算，故多取1位。

（2）补码比较法（Booth算法）所需的硬件配置

  A、X、Q均为n+2位寄存器，其中X存放被乘数的补码（含两位符号位），Q存放乘数的补码（含最高1位符号位和最末1位附加位），移位和加控制逻辑受Q寄存器末2位乘数控制。计数器C用于控制逐位相乘的次数， GM G M 为乘法标记。

（3）补码比较法（Booth算法）控制流程

  为了提高乘法的运算速度，可采用补码两位乘。

（4）补码两位乘   补码两位乘运算规则是根据补码一位乘的规则，把比较 ynyn+1 y n y n + 1 的状态应执行的操作和比较 yn−1yn y n − 1 y n 的状态应执行的操作合并成一步得出的。

  操作数中出现加 2[x]补 2 [ x ] 补 和加 2[−x]补 2 [ − x ] 补 ，故除右移两位的操作外，还有被乘数左移一位的操作；而加 2[x]补 2 [ x ] 补 和加 2[−x]补 2 [ − x ] 补 都可能因溢出而侵占双符号位，故部分积和被乘数采用3为符号位。

  例：已知 [x]补=0.0101 [ x ] 补 = 0.0101 ， [y]补=1.0101 [ y ] 补 = 1.0101 ，求 [x⋅y]补 [ x ⋅ y ] 补 。

  故 [x⋅y]补=1.11001001 [ x ⋅ y ] 补 = 1.11001001 。   与补码一位乘相比，补码两位乘的部分积多取1为符号位（共3位），乘数也多取1为符号位（共2位），这是由于乘数每次右移2位，且用3位判断，故采用双符号位更便于硬件实现。当乘数数值位为偶数时，乘数取2位符号位，共需作n/2次移位，最多作n/2+1次加法，最后一步不移位；当n为奇数时，可补0变为偶数位，以简化逻辑操作。也可对乘数取1位符号位，此时共进行n/2+1次加法运算和n/2+1次移位（最后一步移一位）。

  特点可归纳如下：

  上述规则若照搬到计算机里实现有一定困难：

  小数定点除法对被除数和除数有一定的约束，即必须满足下列条件：