切线有点特殊。它是阿尔法角与余弦角的正弦比。其实就是对边与邻边的比值：

虽然“比率”方法引入了数学、物理和化学中经常使用的新概念，但它有些令人困惑，因为它是通过比较两个变量而产生的，看不见摸不着。 ，不直观，需要大脑进行二次抽象。很多同学在这里心态会很复杂，过不去。

例如，前面提到的三角学中的“弧度”概念也是通过比率来定义的。详情见——）

而这种定义方法对于大于90度的钝角，比如120度、150度角，立刻就失效了，因为此时你发现什么是角的对边、邻边、斜边呢？

这可能会非常令人困惑。

那么有没有一种新的方法可以直观地定义角度的正弦、余弦和正切，并且这个定义适用于任何角度呢？

是的，那么就需要引入“单位圆”工具了。

1.单位圆的概念

我们就以上面的直角三角形来说明一下单位圆是如何引入的。

在上面的直角三角形ABC中，阿尔法角的正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比。如果我们人为地将这个三角形的斜边AC的长度限制为单位1，那么阿尔法角和余弦的正弦立即变成如下：

显然这更加直观。如果我们将这个三角形放在笛卡尔坐标系中半径为 1 的圆中，它将如下所示：

我们现在将这个半径为 1 的圆称为单位圆。

这个单位圆允许一个角度的正弦值和余弦值仅用一个变量来表示，使其更加直观：

Sine = BC，即C点在直角坐标系中的纵坐标值y；

余弦=AB，即C点在直角坐标系中的横坐标值x。

好了，既然到了这里，我们就可以直接用线段BC的长度来表示角度的正弦值，用线段AB的长度来表示角度的余弦值了。

2.三角函数线的概念现在我们更进一步：因为线段BC的长度是角的对边与斜边的比值，所以我们称线段BC为阿尔法角的正弦；

我们还确定，角度的正弦是指从角度的端边与单位圆的交点引垂直于x轴所得到的垂直线段的长度。

如果该垂直线段在y轴的正半轴上，则该长度为正；

如果该垂直线段位于y轴的负半轴上，则该长度为负；

同样，由于线段AB的长度等于角的邻边与斜边的比，所以我们称线段AB为阿尔法角的余弦线；

我们还确定角度的余弦是指从角度的端边与单位圆的交点引出与y轴垂直的垂线所得到的垂直线段的长度。

若该线段在x轴的正半轴上，则其长度为正；

若该线段在x轴负半轴上，则其长度为负；

然而不幸的是，角度的正切仍然是用比例来定义的。我们还能在单位圆中找到一条代表阿尔法角度正切的线段吗？

这当然是可以的，如下图：

现在我们延长AB，与单位圆相交于D，从D点与单位圆相切，与AC的延长线相交于E。这样，阿尔法角的正切值可以用这条切线的线段DE。 ,之所以会这样是因为:

这就是为什么我们称线段DE为阿尔法角的正切。

我们还确定：从角度的初边与单位圆的交点画圆的切线。该切线与角的端边相交。两个交点之间形成的切线段的长度就是角度的正切值。

注：切线是指角度初边与单位圆的交线，即单位圆在x轴正方向的切线。它不能是 x 轴负方向的切线。如果角度的端边不在第一或第四象限内，则该切线与第二或第三象限内的角度端边的逆延长线相交。

如果线段位于正 y 轴上，则角度的正切值为正。

如果线段位于 y 轴的负半轴上，则角度的正切值为负。

我们把阿尔法角的正弦线、余弦线、正切统称为阿尔法角的三角函数线。

介绍了单位圆和三角函数线这两个工具后，我们发现第一象限角的三角函数值可以用单位圆上线段的长度来表示。这太直观了，看得见、摸得着。只需轻轻一按，我就能找出三角函数的值。

等待！这只是第一象限的角度。我们可以直观地用线段的长度来表示三角函数的值。其他象限的角也可以用同样的方法吗？

当然可以，你也可以这样做！看图片：

β角的末端边缘落在第二象限内，其正弦为CD。正弦值是线段CD的长度。该线段位于Y轴的正半轴上，因此正弦值为正。余弦线为AD，余弦值为AD线段的长度，落在x轴负半轴上，所以余弦值为负。

正切为BT，正切值为落在y轴负半轴上的线段BT的长度，因此正切值为负。

如果角的末端边缘落入第三或第四象限怎么办？

就这样，同样的方式。跳-跳-跳。

看，这条三角函数线可以将每个角度的正弦值、余弦值、正切值转换成单位圆上看得见摸得着的线段长度。尺寸、符号和减号一目了然。您不再需要绞尽脑汁去寻找答案。

嗯，一切都安排得尽可能好。

3. 单位圆和三角函数线有什么用？

它有很大的应用。首先，它直观易记。这不再是盲人摸象。如果你记住一次，你就不会再忘记它。这一点尤其重要，因为记住眼睛里的东西比记住大脑里的东西更困难。忘记。

其次，三角函数线的主要作用是推导归纳公式。非常非常重要。

为什么？

因为当你用三角函数线这个工具推导各种归纳公式时，直接画图就可以了，非常直观。

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