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这是数学模型板块的第二篇推文，上篇介绍了几种离散型分布，从本篇开始介绍连续型概率分布。假定某个连续型分布的 取值范围为[a, b]（a、b可以取无穷），则其概率密度函数 与概率分布函数 的关系： 1 均匀分布 如果 在[a, b]范围内任意相同间隔长度内的概率是等同的，那么X就服从均匀分布（Uniform Distribution），记为 。 均匀分布在 取[a, b]间的任意值的概率密度函数都是 。 stats中的相关函数有： dunif(x, min = 0, max = 1, log = FALSE) punif(q, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qunif(p, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) runif(n, min = 0, max = 1)min和max分别相当于a和b； 其他参数含义同stats | 概率分布与随机数生成（一）——离散型分布。 # 概率密度 dunif(seq(1,11,0.5), 1, 11) ## [1] 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 ## [20] 0.1 0.1 # 已知X求累积概率 punif(seq(1,11,0.5), 1, 11) ## [1] 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 ## [16] 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 # 已知累积概率求X qunif(seq(0,1,0.05), 1, 11) ## [1] 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 ## [16] 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 # 生成符合均与分布的随机数 runif(10, 1, 11) ## [1] 6.302010 5.699884 9.597925 9.065036 1.272223 7.165098 6.938233 3.395326 ## [9] 7.864294 5.044557 2 指数分布在泊松过程中（事件在单位时间内发生次数的数学期望恒定，即 ），则事件第一次发生所需要的时间长度符合指数分布（Exponential Distribution），记为 。 指数分布的概率密度函数：
指数分布具有“无记忆性”，即
stats中的相关函数有： dexp(x, rate = 1, log = FALSE) pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rexp(n, rate = 1)参数rate相当于 。 概率密度函数关于 的变化图象： curve(dexp(x, 0.1), 0, 50, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2) for(i in seq(0.2, 0.9, 0.1)) { curve(dexp(x, i), 0, 50, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T) } legend("topright", legend = seq(0.1, 0.9, 0.1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.1, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.1, 0.9, 0.1))), title = expression(lambda), lwd = 2)
3 正态分布
正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），记为 。 正态分布的概率密度函数：
正态分布的性质：
stats中的相关函数有： dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE) pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rnorm(n, mean = 0, sd = 1)mean和sd分别相当于 和 。 概率密度函数关于 的变化图象： curve(dnorm(x, 0, 0.1), -1, 1, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2, n = 400) for(i in seq(0.2, 0.9, 0.1)) { curve(dnorm(x, 0, i), -1, 1, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T, n = 400) } legend("topright", legend = seq(0.1, 0.9, 0.1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.1, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.1, 0.9, 0.1))), title = expression(sigma), lwd = 2)
4 对数正态分布
如果 服从正态分布 ，则 服从对数正态分布（Log Normal Distribution）。 对数正态分布的概率密度函数： 数学期望和方差： stats中的相关函数有： dlnorm(x, meanlog = 0, sdlog = 1, log = FALSE) plnorm(q, meanlog = 0, sdlog = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qlnorm(p, meanlog = 0, sdlog = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rlnorm(n, meanlog = 0, sdlog = 1)meanlog和sdlog分别相当于 和 。 概率密度函数关于 的变化图象： curve(dlnorm(x, 0, 0.1), 0, 2, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2, n = 400) for(i in seq(0.2, 0.9, 0.1)) { curve(dlnorm(x, 0, i), 0, 2, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T, n = 400) } legend("topright", legend = seq(0.1, 0.9, 0.1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.1, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.1, 0.9, 0.1))), title = expression(sigma), lwd = 2)
可以看出，在 较小时，对数正态分布很接近正态分布。 5 卡方分布n个互相独立且都服从标准正态分布的随机变量平方和服从卡方分布（Chi-Squared Distribution）,即
记为 。 称为卡方分布的自由度。 stats中的相关函数有： dchisq(x, df, ncp = 0, log = FALSE) pchisq(q, df, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qchisq(p, df, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rchisq(n, df, ncp = 0)df为卡方分布的自由度。 概率密度函数关于 的变化图象： curve(dchisq(x, 1), 0.5, 20, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2, n = 400) for(i in seq(0.2, 0.9, 0.1)) { j = 10*i curve(dchisq(x, j), 0.5, 20, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T, n = 400) } legend("topright", legend = seq(1, 9, 1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.1, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.1, 0.9, 0.1))), title = expression(n), lwd = 2)
6 t分布
若 服从标准正态分布， 服从自由度为 的卡方分布，
则 服从t分布（Student t Distribution），记为 。 称为t分布的自由度。 t分布的自由度越大，越接近正态分布。 stats中的相关函数有： dt(x, df, ncp, log = FALSE) pt(q, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qt(p, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rt(n, df, ncp)df为t分布的自由度。 概率密度函数关于 的变化图象： curve(dt(x, 1), -5, 5, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2, n = 400, ylim = c(0, 0.4)) for(i in seq(0.2, 0.9, 0.1)) { j = 10*i curve(dt(x, j), -5, 5, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T, n = 400) } legend("topright", legend = seq(1, 9, 1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.1, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.1, 0.9, 0.1))), title = expression(n), lwd = 2)
7 F分布
若 和 分别服从自由度为 和 的卡方分布，
则 服从F分布（F Distribution），记为 。 和 称为F分布的自由度。 stats中的相关函数有： df(x, df1, df2, ncp, log = FALSE) pf(q, df1, df2, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qf(p, df1, df2, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rf(n, df1, df2, ncp)df1和df2分别相当于 和 。 概率密度函数关于 的变化图象： curve(df(x, 2, 5), 0, 3, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2, n = 400) for(i in seq(0.3, 0.9, 0.1)) { j = 10*i curve(df(x, j, 5), 0, 20, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T, n = 400) } legend("topright", legend = seq(2, 9, 1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.2, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.2, 0.9, 0.1))), title = expression(n[1]), lwd = 2)
概率密度函数关于 的变化图象： curve(df(x, 5, 2), 0, 3, col = rgb(0.1, 0, 0.9), lwd = 2, n = 400, ylim = c(0, 0.7)) for(i in seq(0.2, 0.9, 0.1)) { j = 10*i curve(df(x, 5, j), 0, 3, col = rgb(i, 0, 1-i), lwd = 2, add = T, n = 400) } legend("topright", legend = seq(2, 9, 1), lty = 1, xpd = T, col = c(rgb(seq(0.2, 0.9, 0.1), 0, 1-seq(0.2, 0.9, 0.1))), title = expression(n[2]), lwd = 2)
8 Logistic分布
逻辑斯蒂分布（Logistic Distribution）,又称增长分布。其 概率分布函数: 概率密度函数：
是中心参数，也是Logistic分布的数学期望； 是分散参数； ， 时称为标准Logistic分布。 stats中的相关函数有： dlogis(x, location = 0, scale = 1, log = FALSE) plogis(q, location = 0, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qlogis(p, location = 0, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rlogis(n, location = 0, scale = 1)location和scale分别相当于 和 。 标准Logistic分布的累积概率函数和概率密度函数： curve(plogis, -10, 10, col = "blue", lwd = 2) curve(dlogis, -10, 10, col = "red", lwd = 2, add = T)
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