前言

如果看完文章还不明白的话，请跳转到我主页中的这个链接去看更为详细的视频讲解（【彻底搞懂电力电子中的坐标变换】），看完视频后可以再回过头来看此文本，因为视频中可能有些讲的不是很完美的地方，会在此文本处做出相应的修正。

此外，文本或视频中有些符号的大小写形式或表示形式与其他参考书目或参考资料不同，比如3/2变换有的叫做clark变换，也有的叫做Clarke变换等，这都不影响使用，这些符号或名称都是形，大家不要被形所绑到、所束缚住，要学到它的神，就是分析思路、分析方法以及使用方法等，这样才可以做到触类旁通、举一反三的效果，才能更快的进步，希望大家都能学有所得。

文本编写不易，还望大家多多点赞支持，后续会推出主页视频相关的更多文字版本。

下面开始正式内容。

3/2变换，即clark变换，即ABC轴到αβ0轴的坐标变换：

三相坐标系中A轴与两相静止坐标系中α轴重合的模式：

对于三相对称交流电，以三相电压为例进行说明：

加到三相ABC坐标系上就会合成相应的电压矢量，随着时间的变化，该矢量逆时针旋转且幅值不变，如下图：

这里的坐标系一定要搞明白，ABC是固定的三相坐标系，这里是按照逆时针模式，这也是我们常用的模式，坐标系里面又各自分布着正弦量。ABC空间上互相差120度，且A滞后B滞后C（空间位置中，逆时针方向，谁在前面谁就超前，谁在后面谁就滞后。），ABC三个坐标轴上的正弦量在相位上差了120度，且A轴上的正弦量超前B轴上的正弦量超前C轴上的正弦量，正好与坐标轴的相位关系相反（注：此为正序量，负序则相反，我们这里讨论的均为正序量，当三相正弦信号不平衡的时候才会考虑负序分量，下文会提供相关链接。），坐标系上的正弦量随着时间的变化，合成矢量也在不断变换。这里的坐标系起源于电机的定转子位置，可参考主页视频链接【彻底搞懂两电平SVPWM调制原理及其仿真】，不再赘述，会用就行。

上式（1）中各相电压表示空间坐标系三个轴上对应的正弦量的瞬时值，由欧拉公式：

其中θ角可以表示某正弦量所处的空间位置，此公式可看做一个单位矢量，主要反映角度关系，某一个矢量和它相乘就表示空间位置逆时针旋转了θ角度，如果把A轴对应的θ角定为0度，则A,B,C三相坐标系上的正弦矢量可分别表示如下，相当于ua在A轴上，ub在B轴上，uc在C轴上。

则合成矢量表达式如下：

上面最后式子相当于一个在实轴上，一个在虚轴上，虚轴超前于实轴90度。这样原来三个方向上的量就可以用两个方向的量来表示。令：

和式（4）结果相对应，则有：

 Vα,Vβ即为两相静止坐标系下的分量，对应坐标系如下图所示：

将式（1）中的三相电压代入式（6）并经过运算可得：

由运算结果可得，Vα超前于Vβ 90度，两者幅值相等。但幅值为原来式（1）中三相电压的3/2倍。

等幅值变换

若采用等幅值变换，那么需要对式（4）中的原矢量表达式再乘以2/3，来抵消掉式（7）前面的3/2，如下所示：

那么此时得到的新的α轴，β轴分量的表达式如下：

再将式（1）的三相电压代入上式（9）可得：

对式（10）结果进行仿真验证，仿真模型如下：

电压设置如下，幅值均为1的cos信号，也就相当于式（1）中的Um=1

经过clark变换后的输出结果如下，和式（10）中推得的结果一致，大家感兴趣可以自己仿真试一下。

根据式（10）中的结果，可得经过等幅值变换后的合成矢量的幅值为：

经过等幅值变换后合成矢量的幅值就是原来给定三相电压的幅值，这样变化前后，三相ABC坐标系和两相αβ静止坐标系上的正弦量幅值均相等，式（9）就是等幅值变化的方程，写成矩阵的形式如下：Clark变换

其中最后一行均为1/2，是因为它包含了不对称三相正弦量的情况，此时就会多出来一个零轴分量，下面给大家稍微解释一下这一点 ：

如果ua,ub,uc,为不对称的三相正弦量，那么它总可以分解成对称正序分量、对称负序分量以及零序分量的叠加，如下式所示：

用正弦信号可表示为：

注：至于为什么可以这样表示，大家可以参考我主页视频：【不平衡正弦信号1】三相不平衡正弦信号的坐标变换问题推导】，里面有非常详细的讲解，建议看完此页全部文本内容后再看此视频，因为视频中用到了后面的内容。不看也没关系，会用就行，无需过多纠结。

由于正负和负序分量都是对称的，所以由式（13）可得：

所以可得零轴分量为：

然后提取2/3后，就得到了式（12）矩阵第三行中的1/2了。这里的u0为αβ0坐标系下的零轴分量，如果电压本来对称的话，它的值为0。因为我们主要研究的是三相对称电路，所以u0不必过度纠结，如果不对称的话往往用正负序分离的方法解决（注：关于这方面的内容还是可以去看上面推荐的那个链接。），这也不会用到u0，在三相四线制电路里面才会用到这里的零轴分量，后面有时间再给大家讲解。所以最后一行系数目前不必过度纠结，直接用就行。

两相静止坐标系中α轴滞后于三相坐标系中A轴90度的模式：

上面的坐标系是三相坐标系中的A轴与两相坐标系中的α轴重合的情况，这是我们常用的情况，但有些书上是按照α轴滞后于A轴90度来推导的， 比如张兴老师的《PWM整流器及其控制》那本书上就是这种情况。仔细对比一下会发现最后得到的矩阵表达式很相似但又不一样，大家经常容易混淆，下面进行详细分析。

首先这样的坐标轴如下：

上式（8）推导的结果重写如下：

这个式子是和α、β轴的位置无关的，因为它是在三相坐标系下得到的结果，他只是将最后得到的量映射到了对应的坐标轴上。如果对应到上面的αβ坐标轴上，β轴上的量就变成原来的Vα，也就是式（17）中的实轴分量； 现在的α轴在下面，那么它里面的量就相当于，原来的-Vβ，也就是式（17）中的虚轴分量加个负号，因为现在的α轴和之前的β轴方向相反，所以要加个负号。那么这样变化后的两静止坐标系上的分量就变为：

对上述结果进行仿真验证，验证其幅值和相位:

仿真结果如下：

由仿真结果可得，依然是α轴分量超前于β轴分量90度。但是此时β轴上的量为原来A轴的量，这也很好理解，因为这种情况β轴和A轴重合嘛。感兴趣的话可以自己仿真验证一下，蛮有意思的。

这样坐标变换矩阵就如下所示：

所以在遇到不同的坐标变换公式时不一定是错了，有可能采用的坐标系模式不一样，但也有可能真的错了，所以如果遇到不一样的情况最好先自己验证一下。

这两种坐标系下的坐标变换的结果前者α轴的量和a轴一样 ，后者β轴的量和a轴一样，根据自己的需要选择合适的变化策略，但一般都是选择前者，最终要的是弄清α和β轴上的每个量的关系。simulink中的模块中也是只给出了前者的模块，所以下面分析时都以前者的形式进行转换。

这里不同的坐标方式clark变换后的差距还不是很明显，等到了dq变换就比较明显能看出其中的问题了。

他们的逆变换这里就不推导了，感兴趣的话直接一步矩阵运算就出来了，不愿意自己算也可以用matlab函数或其他数学软件直接得出，在文章末尾会给出逆变换的最后结果。

等功率变换

由上面式（7）可知，三相坐标系上正弦量变换成两相坐标系上的原始正弦量如下：

如果设三相电压与电流的夹角为 θ，那么变换到两相坐标系后，电压电流的夹角依然不变，

则三相平均有功功率可表示为：

式（21）中，3表示3相，后面除以根号2表示有效值。

结合式（20），两相αβ坐标系下对应的有功功率可表示为：

上式中，前面的2是因为有两相正弦信号，所以乘以2；二分之一是因为后面电压电流用的都是幅值，所以电压电流都要除以根号2才行，也就相当于总共除以2，所以前面就有个二分之一。

假设原来变换时，乘以个系数k，使得前后功率相等，则相当于变换后电压电流都多了个系数,k，则有：

解得：

则最终的变换为：

则有：

写成矩阵的形式如下：

最后一行的系数是通过正交变换得到的，即等功率变换一定是正交变换，设最后一行系数为x,通过正交变换即可得到x的值。在张兴老师的那本《PWM整流及其控制》上有详细的解释，参考下图：

还是那句话，最后一行一般用不到，不必过度纠结，直接用即可。

我们通常用到的主要是α轴和β轴上的量，通过上面等功率变换和等幅值变换矩阵表达式对比，可发现除最后一行零序分量外，等功率变换和等幅值变换只是相差了个系数，但是等功率变换矩阵是正交矩阵，而等幅值不是，所以涉及到矩阵运算时采用等功率变换计算会更为简便，因为正交矩阵有很多性质可用，比较方便。如果想用等幅值变换直接在等功率变换结果的基础上乘以，就可以将α和β轴上的两个量变换成等幅值的情况。

不过我们一般也用不到很复杂的矩阵运算，而simulink中给的是等幅值变换方式，且我们控制时通常是相让输出量的幅值和给定量的幅值相等，所以平时用等幅值就够了，这样可以直接用simulink中的模块，比较方便，但是如果要计算功率，必须用等功率变换，就是在等幅值的基础上乘以即可，这样就和等功率变换等效了。

Park变换，即旋转变换，即αβ0到dq0轴的坐标变换，即两相静止坐标系到两相旋转坐标系的坐标变换

Park变换，旋转变换，由两相静止坐标系到两相旋转坐标系上的转化，旋转角度与三相正弦量的角度一致。从A轴开始，以wt的角速度旋转，这样合成的电压矢量会和dq0坐标轴同步旋转，旋转矢量和旋转的dq0坐标系处于一个相对静止的状态，所以坐标轴上的分量就是直流量了，这样就把三相交流量转化成了两相直流量，方便我们用比例积分去控制（注：比例积分可以对直流量实现无静差控制，控制精度较高。这里不再赘述，当大家在用到的时候既然会心领神会。）。

首先说明一下，如果前面是恒功率变换，那这里变换后的结果就是恒功率，如果前面是恒幅值变换，那么这里变换后的结果就是恒幅值。

先分析d轴起始位置与a轴重合的情况：基于cos的park变换

坐标系如下：

通过坐标分解，就是将αβ0坐标系上合成的矢量，分别投影到旋转坐标系的d轴和q轴上，可得：

将clark变换的公式代入上式就可以得到ABC到dq0的坐标变换矩阵，以等幅值为例，如下：

如果d轴起始位置滞后于a轴90度：基于sin的park变换

坐标系如下，注意，旋转角度依然从A轴开始旋转，q轴为参考轴:

通过坐标分解可得：

写成矩阵的形式为：

就相当于在上面那个式（28）的基础上，wt滞后90度，即wt换成wt-pi/2即可。

将clark变换的公式代入上式就可以得到abc到dq0的坐标变换矩阵，以等幅值为例：

下面来看个现象：

为了方便分析，现在进行归一化处理，给定电压幅值为1的正弦量，分别用sin cos的形式表示:

然后将三相cos形式电压表达式代入A轴与d轴起始位置重合的旋转坐标变换公式（29），得：

可以得到：Vd==1, Vq == 0; 此时d是主控轴， 给定cos信号时使得d轴分量为1，所以是基于cos型的坐标系。

同理：将cos的形式代入d初始时滞后A轴90度的旋转坐标变换公式（32），可得：

此时d轴为0，如果仍把d作为主控轴，就可能出问题。

将sin形式三相电压信号代入d初始时与A轴重合的旋转坐标变换公式（29），可得：

将sin的形式三相电压信号代入d初始时滞后A轴90度的旋转坐标变换公式（32），可得：

此时主轴d的量始终为1，给定sin信号使得d轴为1，所以是sin型。

我们习惯把d轴当做主轴来控制，就是通过变换后最好让d轴分量为1，所以当系统所使用的电压为cos形式时，那么用a轴与d轴重合的形式比较方便，此时d轴为1，对应simulink中的Rotating frame aligned with A axis at t = 0模式；如果系统使用的三相为sin的形式，那么使用d初始时刻滞后于a轴90度时比较方便，此时d轴为1，对应simulink中的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式；上面的结果也正对应了simulink 模块help中的一段话：

如果经常仿真的话会发现,我们通常都是用它默认的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式，这也是因为我们给定的通常都是sin的形式，这样直接把d轴作为主轴控制就不会有问题。 总而言之，不管用哪一种形式，对变换后的dq轴的量一定要清楚，谁是1谁是0，然后在控制中根据自己的目的去控制需要的量。在使用时我们通常会引入闭环控制，这样即使坐标变换后d轴为0，也会被闭环强制拉回主轴1的模式，所以一般在一个大系统里面用同一种模式的坐标变换，别混着用，就问题不大。

下面贴出一些仿真结果：

总结：

为方便大家使用，现将上述推导结果做如下汇总：

如果不考虑零轴分量，恒幅值变换时，如果想转化为等功率变换，就是在等幅值变换的基础上乘以即可。恒幅值反变换时，如果想转化为等功率变换，就是在等幅值反变换的基础上乘以即可。

如果考虑零轴分量，则对应零轴分量的系数分别要在原来的基础上乘以和，即如果是正变换，则其他行均乘以，第三行即为零轴对应的行，要乘以，如果为反变换，则其他列均乘以，零轴对应的第三列要乘以。如果把握不好，考虑零轴时直接重新计算也行。后面我会给出计算步骤。

下面给出的结果均为恒幅值变换的表达式：

（1）3/2变换，也叫clark变换，也就是ABC轴到αβ轴的坐标变换公式为：

后面旋转变换也是基于此模式而来的，另一种模式不常用，这里不再给出，如果大家有特殊需要可按前述所讲自行推导。

（2）旋转变换，即park变换，即αβ0轴到dq0轴的坐标变换：

Mode1：d轴初始时滞后a轴90度的情况，基于sin的旋转变换：

Mode1对应的ABC轴到dq0轴的坐标变换或其反变换的公式如下：

Mode2：d轴初始时刻与A轴重合的情况，基于cos的旋转变换：

Mode2对应的abc到dq坐标轴的变换公式：

上述反变换的计算过程如下，使用的是mathematica软件进行的计算，关于此软件的使用方法，感兴趣的可以参考我主页的视频：【【1】mathematica-软件界面介绍】

为了方便大家手机端查看，下面给出大图结论形式，也均是恒幅值变换的结果：

Mode1对应的ABC轴到dq0轴的坐标变换或其反变换的公式如下：

Mode2对应的ABC轴到dq0轴的坐标变换或其反变换的公式如下

参考书籍：

    《PWM整流器及其控制》 张兴 张崇巍

    《PWM模式与电力电子变换技术》 陈国呈

    《电力电子电路》 陈国呈 译

结束，感谢阅读。

由于这里的编辑的问题，公式都是用的截图，而且粘进来后没法调整大小，所以不太美观，可以去看我发的视频，里面讲的很清楚。

注：由于本人水平有限，文章中难免会出现错误或者不严谨的地方，还请大家多多包涵、批评指正。我也会更加努力，坚持给大家分享更为优质的内容。