python 施密特标准正交化 + 判断矩阵是否正交（亲测！）

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python 施密特标准正交化 + 判断矩阵是否正交（亲测！）

2023-05-25 01:22| 来源: 网络整理| 查看: 265

【线性代数】标准正交矩阵与Gram-Schmidt正交化_nineheaded_bird的博客-CSDN博客_标准正交矩阵

什么是施密特标准正交化？

标准正交向量组定义：任一向量的模为1（向量标准化），且任意两个向量的乘积为0（向量正交化），可通过施密特标准正交化实现。

线性无关向量组未必是正交向量组，但正交向量组又是重要的！如何从一个线性无关向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m}$ 出发，构造出一个标准正交向量组 $e_{1},e_{2},...,e_{m}$ ，并且使向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m}$ 和 $e_{1},e_{2},...,e_{m}$ $(r=1,2,...,m)$ 等价呢？那就是通过施密特(标准)正交化方法实现！

施密特(标准)正交化(Schmidt orthogonalization): 是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m}$ 出发，求得正交向量组 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{m}$ ，使由 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{m}$ 与向量组 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{m}$ 等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组 $e_{1},e_{2},...,e_{m}$ ，这种方法称为施密特正交化。

施密特正交化的python实现

python3 的 sympy 包实现了GramSchmidt （施密特正交化）方法如下：

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt l = [Matrix([3,2,-1]), Matrix([1,3,2]), Matrix([4,1,0])] # 注意：将数据转为Matrix格式，否则调用GramSchmidt函数会报错！ # 返回未单位化结果 o1 = GramSchmidt(l) # 注意：orthonormal默认为False，不执行单位化操作 print(o1) # 返回单位化结果 o2 = GramSchmidt(l,orthonormal=True) # 注意：orthonormal设为True，执行单位化操作 print(o2)

计算结果如下：

# 未单位化结果 [Matrix([ [ 3], [ 2], [-1]]), Matrix([ [-1/2], [ 2], [ 5/2]]), Matrix([ [ 1], [-1], [ 1]])] # 单位化结果 [Matrix([ [3*sqrt(14)/14], [ sqrt(14)/7], [ -sqrt(14)/14]]), Matrix([ [ -sqrt(42)/42], [2*sqrt(42)/21], [5*sqrt(42)/42]]), Matrix([ [ sqrt(3)/3], [-sqrt(3)/3], [ sqrt(3)/3]])]

sympy.Matrix 与 Numpy 的互操作：

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidt l = [Matrix([3,2,-1]), Matrix([1,3,2]), Matrix([4,1,0])] # 返回单位化结果 o2 = GramSchmidt(l,orthonormal=True) # 注意：orthonormal设为True，执行单位化操作 m = np.array(o2) # 内积计算，验证施密特正交化结果 print('任意两向量乘积为：',(m[0] * m[1]).sum()) print('任一向量的模为：',(m[1] * m[1]).sum()) 判断矩阵是否正交

如果 $AA^T=E$ （E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或 $A^TA=E$ ，则n阶实矩阵A称为正交矩阵.

import numpy as np rot_matrix = np.asarray([[ 0., -1., 0.], [ 1., 0., 0.], [ 0., 0., 1.]]) # 判断矩阵是否正交 print(rot_matrix @ rot_matrix.T) # 方法1 print(np.dot(rot_matrix,rot_matrix.T)) # 方法2 #输出结果： #[[1. 0. 0.] # [0. 1. 0.] # [0. 0. 1.]] #[[1. 0. 0.] # [0. 1. 0.] # [0. 0. 1.]]

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