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Gram-Schmidt正交化方法 参考文献：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=315774&do=blog&id=383334 问题：设有向量组α1, α2, . . . , αk，求一组与之等价的规范正交向量组v1, v2, . . . , vk（称作原向量组的规范正交化向量组） 将上述问题转换为下面三个问题来解释： （1）设v1为单位向量，alpha为v1线性尤关的任意向量.求与 v1正交的单位向量v2。(要求用v1和alpha线性表示v2）（2）设alpha1和alpha2是两个线性尤关的向量.求两个正交的单位向量v1与v2:(要求用alpha1和alpha2线性表示）（3）设alpha1,alpha2, alpha3是三个线性尤关的向量.求三个正交的单位向量v1，v2，v3（要求用alpha1,alpha2, alpha3线性表示）（4）采用递推，最后回到原问题。具体实施步骤： 1）将alpha_j+1看作总量，并计算J已在每个v_i上的投影向量:(alpha_j+1 v_i)*v_i; 2)从从总量中减去投影向量的和，得到补向量: 3)对补向量单位化，得到 伪码表示如下： （貌似算法表达有一点点问题） 用Matlab描述如下： function [v] = GS(A) v(:,1)=A(:,1)/norm(A(:,1)) Num=0;%迭代步数 [Ahang,Alie]=size(A) %矩阵的行和列 for j=2:Alie for i=1:j-1 sum(:,1)=zeros(1,Ahang); %临时变量 存储后面的求和 for k=1:j-1 %disp('---A----') %disp(A(:,j)); %disp(v(:,k)); h(k,j)=A(:,j)'*v(:,k); %disp(sum(:,1)) %disp(k) %disp(j) %disp(h(k,j)) %disp(v(:,k)) sum(:,1) =sum(:,1)+h(k,j)*v(:,k); Num=Num+1; end v(:,j)=A(:,j)-sum(:,1); v(:,j)=v(:,j)/norm(v(:,j)); end end disp('Num=');disp(Num)%上述某些冗余行，主要方便调试改进版 function [v] = GS(A) v(:,1)=A(:,1)/norm(A(:,1)) Num=0;%迭代步数 [Ahang,Alie]=size(A) %矩阵的行和列 for j=2:Alie sum(:,1)=zeros(1,Ahang); %临时变量 存储后面的求和 for i=1:j-1 h(i,j)=A(:,j)'*v(:,i); sum(:,1) =sum(:,1)+h(i,j)*v(:,i); Num=Num+1; end v(:,j)=A(:,j)-sum(:,1); v(:,j)=v(:,j)/norm(v(:,j)); end disp('Num=');disp(Num)
该程序可以实现方阵，或者是行列不等的情况。 在matlab主窗口，输入： >> A=[1 2 3;2 1 3]其显示结果为：（部分） Num= 4 v = 0.4472 0.8944 0.4472 0.8944 -0.4472 0.8944输入： >> A=[1 2 3;2 1 3;1 1 2]其显示结果为： Num= 4 v = 0.4082 0.8616 0.4082 0.8165 -0.4924 0.8165 0.4082 0.1231 0.4082输入： >> A=[1 2 3;2 1 3;1 1 2;2 3 1]其结果显示如下： Num= 4 v = 0.3162 0.5285 0.6454 0.6325 -0.7047 0.6001 0.3162 -0.0587 0.4152 0.6325 0.4698 0.2259可以通过norm(v(:,k)) (其中k为1~Ahang)查看是否为单位向量 或者是v(:,i)'*v(:,1)是否为1 通过v(:,i)'*v(:,j)测试是否为正交（i!=j）
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