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凝聚态场论以及在拓扑相变中的应用(2020/秋季)
主讲老师：龚明
地址：量子信息实验室519 电话：86-0551-63606522 上课时间：每周三(3,4,5) 上课地点：2209
参考资料
《Condensed Matter Field Theory》, Alexander Altland, Ben Simons
Nagaosa
《Quantum field theory in condensed matter physics》，Naoto Nagaosa, S. Heusler
《Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems》，Naoto Nagaosa, S. Heusler
《Quantum Field Theory and Condensed Matter, an Introduction》, Ramamurti Shankar
文小刚
《Quantum field theory of many-body systems: from the origin of sound to an origin of light and electrons》，Xiao-Gang Wen
《量子多体理论_从声子的起源到光子和电子》，文小刚
《The physics of quantum fields》，Michael Stone
《Many-Particle Physics》，Gerald D.Mahan
《An Introduction to Quantum Field Theory》，Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder
《Field Theories of Condensed Matter Physics》，Eduardo Fradkin
《Quantum Field Theory in a Nutshell》，A. Zee
Google,
Wikipedia
考核
课题报告：50%
平时作业：50%
课题报告和平时作业提交截止时间为开学后第二周的第一天。若交电子版请发送到[email protected], 命名格式为"学号-姓名"; 若交纸质版请送到物质科研楼C楼812。
课题报告
课题报告要求
参考论文
20.09.23 第一次课：
课堂笔记
主要内容：
介绍凝聚态场论和粒子物理场论的区别，介绍场论和多体物理的区别，介绍本学期可能涉及到的物理模型
龚老师对第一次课程的总结（细节见学生笔记）
20.09.30 第二次课：用一个简单的delta势模型介绍重整化的基本思想、必要性。除了在粒子物理中用到，在凝聚态中也广泛用到（散射问题、相变问题等）
补充材料
《Weinberg, The Quantum Theory of Fields. I.》，Steven Weinberg 中文版
Weinberg的QFT第一卷，Chapter 1详细论述了QED的发展史，涉及到重整化产生的背景. 本身这本书也是极好的参考书, 但可能更适合粒子物理.
Su-Long Nyeo, Regularization methods for delta-function potential in two-dimensional quantum mechanics. 原文下载
Su-long Neyo的文章涉及到2D delta-势
Bertrand Delamotte, A hint of renormalization. 原文下载
Kerson Huang, A Critical History of Renormalization. 原文下载
著名华人物理学家黄克孙谈重整化发展史
课堂笔记, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
重整化过程：解决理论发散和实验有限的矛盾，此时必须在耦合参数上引入发散。核心---观念上的改变 （参数和截断有关） \(\lambda=\lambda(\Lambda)\)
重整化(renormalization)
为了使观察值与能标\(\Lambda\)无关, 不得不引入另外的发散抵消\(\Lambda\)的发散
正规化(regularization)
\(\left.\begin{array}{l} d-\varepsilon \text{方法} \\ \Lambda-\text{cutoff方法} \end{array}\right\} \text{二者等价}, \Lambda\rightarrow\infty\text{对应}\varepsilon\rightarrow 0\)
Wilson's RG & \(\beta\)-function
\(\beta(\lambda)=\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\ln\Lambda} \left\{\begin{array}{ll} 0, & \text{低能下更重要} \end{array}\right.\)
场的相关概念
作业1：仿照Su-long Nyeo(1999) paper讨论\(d=3\)时\(\delta\)-potential的情况
(1)任意小的吸收, 都会导致束缚态
(2)\(\beta < 0\)时, 发生渐近自由
作业2：讨论2D \(\delta\)-potential在维度正规化下的后续结果, 如求解积分, \(\beta\)-function分析等
龚老师对第二次课程的总结（细节见学生笔记）
20.10.14 第三次课：场量子化、红外发散和不稳定性、路径积分
补充材料
Concept-of-fields-in-physics
物理中场的概念
The-origin-of-field-concepts-physics
场概念的起源
Spooky action at a distance: The puzzle of entanglement in quantum theory
超距幽灵作用
PAM Dirac, 1927 The quantum theory of the emission and absorption of radiation, 114(767), 243-265. 原文下载
1927年Dirac的QED原始论文
Nagaosa 1.2 Many-Particle Quantum Mechanics: Second Quantization
Nagaosa书上二次量子化部分 Page 12-18.
Michael Stone书上第一章
Michael Stone书上第一章, 涉及谐振子, 二次量子化和连续化.
Kosterlitz and Thouless原始论文的有趣总结
Kosterlitz and Thouless原始论文的有趣总结
课堂笔记, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
无穷大悖论
例：静止点电荷能量
人们对极小尺度物理上的无知(Human ignornance, see A. Zee Book QFT), 导致只能在特定能标下用低能有效模型加以描述
解决方案：参数与能标一起变动
形式上：\(E=f(\Lambda, g_{\Lambda})\), 左侧为有限实验值, 右侧\(\Lambda\)和\(g_{\Lambda}\)必须同时变动, 从而抵消发散项的影响.
凝聚态中的发散——相变点处发散（来源于红外或者紫外）
场量子化、红外发散 < 不稳定性
一维声子模型——线性色散. 这个模型具有重要的意义, 值得仔细思考. 在1d模型中, 可以将位移量\(x_n\)改成\(\phi(n,t)\)的形式, 所以这个波函数表示在\((x,t)\)位置的振动幅度, 所以可以量子化.
这个例子也说明, 二次量子化没有什么神秘之处, 本质上还是canonical quantization. Ben Simons等书本中一般不叫二次量子化, 而叫正则量子化.
声子模型与红外发散
线性色散：1d发散, 2d稳定; 二次型色散：1d和2d都发散
但Goldstone定理保证了声子一定是线性色散
Wagner-Mermin Theorem：2d系统+短程, 不可能有长程序
但当时发现理论与实验观察似乎不一致(2d Ising model等)
Thouless和Kosterlitz的BKT相变
从路径积分（path integral）到量子场论（QFT）
路径积分的意义：将最小作用量原理引入量子力学
量子力学中的路径积分
\(P(a, b, t)=\int_{a}^{b} Dx e^{i \int_{0}^{t} \mathcal{L} d \tau}\)
QFT中的路径积分
\(\int D \phi(x, t) e^{i \int d x d t} \mathcal{L}\left(\phi, \partial_{\mu} \phi\right)\)
推广过程中要尤其注意类比思想。我们将path integral中的\(x(t)\)写成\(\phi(x,t)\), 从而让\(\phi\)具有波函数的形式.
场量子化与路径积分连续化
场量子化(以1d chain为例)与路径积分连续化示意图
龚老师对第三次课程的总结（细节见学生笔记）
20.10.21 第四次课：发散问题与无穷维路径积分计算方法
补充材料
Determinants of Quantum Operators
量子算符的行列式
The functional determinant 和 \(\zeta\)-函数
Gaussian积分与\(\zeta\)-函数
A Brief Look at Gaussian Integrals
Gaussian积分
Multidimensional Gaussian integrals
多维度Gaussian积分
课堂笔记, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
维度在凝聚态物理中的重要作用
无BEC, 即无长程有序
Wagner-Mermin定理
BKT相变、QHE和高温超导
Ising model
无穷维路径积分的计算
二次型积分——给出复杂的算符行列式
计算公式: \(\int\mathrm{d}x e^{-Ax^2+Jx} = \sqrt{\frac{2\pi}{A}} e^{\frac{J^2}{4A}}\)
实数情况: \(\int\mathrm{D}X e^{-\frac{1}{2}X^{T}AX+J^{T}X} \propto \frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}A}} e^{\frac{1}{2}J^{T}A^{-1}J}\); 复数情况(可简单认为是两个实数变量): \(\int \mathrm{d}z \mathrm{d}\bar{z} e^{-\frac{1}{2}A\bar{z}z + \bar{J}z} \propto \frac{1}{\mathrm{det}A} e^{\bar{J}A^{-1}J}\)
Fourier变换——给出Jacobi行列式
Fourier变换本质上是线性变换
Fourier变换将无穷维的积分化成exp上与\(\vec{k}\)的求和, 就可以简单拆开成一系列一维积分.
配分函数: \(Z=\prod_{k} \left( \mathrm{D} \bar{\phi}(k) \mathrm{D} \phi(k) e^{-\frac{1}{2}(\omega^2+k^2)} \bar{\phi}(k) \phi(k) \right) \)
计算传播子/关联函数 \(\left\langle \phi(x)\phi(y) \right\rangle\)
经过Fourier变换后: \(\sum_{k,k^{\prime}} e^{i k \cdot x+i k^{\prime} \cdot y} \frac{\int \phi(k) \phi\left(k^{\prime}\right) e^{-S} \mathrm{D} \phi \mathrm{D} \bar{\phi}}{\int e^{-S} \mathrm{D} \phi \mathrm{D} \bar{\phi}}\)
只有\(k^{\prime}=-k\)的才有贡献, 最终\(\langle\phi(x) \phi(y)\rangle=\left(\frac{1}{\omega^{2}+k^{2}}\right)\)
作业：推导文小刚书上(2.1.3)节和(2.1.4)节, 对自由空间和harmonic oscillator的路径积分的讨论. 原书截取
龚老师对第四次课程的总结（细节见学生笔记）
20.10.28 第五次课：有相互作用场论计算方法(微扰论)与重整化、重整化群
补充材料
Mahan. 2.6 Vacuum polarization graphs
Mahan书上对只有连通图有贡献的说明
15. The perturbation theory series for the thermodynamic potential(英文版), 15. 热力学势\(\Omega\)的微扰论级数(中文版)
Kardar书上对只有连通图有贡献的简单证明
Kardar. Expectation values in perturbation theory
Abrikosov书上对只有连通图有贡献的证明
只有连通图有贡献的严格证明
只有连通图有贡献的严格证明
Shanker. Chapter 14 Two Views of Renormalization
Shanker书Chapter 14 Two Views of Renormalization, 关于多体之间散射与重整化群
课堂笔记, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
回顾
发散
路径积分
微扰论
与概率论的关系
矩(moment)分解：\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(ik)^{n}}{n!}\langle x^{n}\rangle\), 比较麻烦, 不同阶之间都嵌套耦合在一起
累积量(cumulant)展开：如\(\langle x^{2}\rangle=\sigma_{2}+\langle x\rangle^{2}\), 把各阶区分开
\(n\)体关联的计算关键是算到不能分解为更低的为止
本质上二者等价：\(\sum_{n}\frac{(ik)^{n}}{n!} \int P(x)x^{n}\mathrm{d}x \Leftrightarrow \sum_{n}\left(\frac{i\lambda}{4!}\right)^{n}\int e^{iS_{0}[\phi]}(\phi^{4})^{n} \mathrm{D}\phi\)
linked cluster theorem
详细推导见note
累积量之间没有任何关联, 可以算完一阶, 算二阶, ... 之间没有任何overlap
计算物理量
\(Z=\inf \mathrm{D}\phi e^{-H_{0}-u}\)
\(\langle \hat{O}\rangle = \frac{\int D \phi e^{-H_{0}-u} \hat{O}}{\int D \phi e^{-1 / H{0}-u}} = \int\left(\frac{1}{Z}e^{-H_{0}-u}\right)\hat{O}\)
只有连通图有贡献, 详细见note
重整化与重整化群
处理发散问题有两种思路
第一种：重整化方法——利用抵消项, 多用于粒子物理
令重整化后\(\left\{\begin{array}{l}m_{R}^{2}=m^{2}+\delta m^{2} \\ \lambda_{R}=\lambda+\delta \lambda \end{array}\right.\) 带入到原Lagrangian中
如果可以抵消掉, 只剩有限部分(要证明到任意阶都能抵消), 称为该理论可重整
第二种：重整化群RG——凝聚态、相变问题中常用
分为\(0 \sim b\Lambda\)和\(b\Lambda \sim \Lambda\)两部分, 积掉\(b\Lambda \sim \Lambda\)部分
方便加上不同的项加以讨论, 更通用
\(\phi^{4}\)理论（开头）
\(\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi - \frac{m^{2}}{2}\phi^{2} - \frac{\lambda}{4!}\phi^{4}\)
作业：推导Peskin书上(4.4)-(4.5)节, 需要用到P96-P97 cumulant expansion
龚老师对第五次课程的总结
20.11.04 第六次课：\(\phi^{4}\)理论、Feynman图与质量重整化
补充材料
Shankar书上重整化部分
Shankar书上重整化部分
Peskin书上\(\phi^{4}\)理论部分
Peskin书上\(\phi^{4}\)理论部分
Peskin书上Feynman图与Feynman规则部分
Peskin书上Feynman图与Feynman规则部分
Kardar Ch5.Perturbative renormalization group
Kardar书上微扰重整化群部分
Kleinert. Chapter8. Regularization of Feynman Intergrals
Kleinert书Chapter8. Feynman积分的正规化
课堂笔记, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
回顾与本节内容概述
Green函数
Wick收缩、累积量分解
重整化
微扰是处理有相互作用多体问题的唯一通用方法.
\(\phi^{4}\)理论
\(\phi^{4}\)理论
\(\mathcal{L}=\frac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi-\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}-\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}\)
计算传播子
Wick转动: \(Z(t)=\int \mathrm{D}\phi e^{i \int \mathrm{d}t \mathrm{d}x \mathcal{L}} \stackrel{t=-i \tau}{\longrightarrow} \int \mathrm{D} \phi e^{-\int \mathrm{d}\tau \mathrm{d}x H}\)
发散问题
之前处理\(g\delta^{2}(x)\)的方法已经无法处理了, 因为有相互作用.
可重整代表只要用简单几个参数就能cancel掉任意阶的无穷大发散.
为了解决发散问题, 必须假定耦合常数与\(\Lambda\)有关.
无相互作用时
转到动量空间计算, \(\langle\phi(x) \phi(y)\rangle_{0}=\frac{1}{V^{2}} \sum_{k, q}\langle\phi(k) \phi(q)\rangle e^{ikx+iqy}\)
配对条件\(q=-k\), 再求和化积分
最终有: 自由传播子\(D_{F}(x-y)=\sum_{q} \frac{i}{\left(q^{0}\right)^{2}-q^{2}-m^{2}} e^{-i q(x-y)}\)
有相互作用时
必须用微扰论处理
Feynman图
Feynman图就是抵消所有非连通图后, 所有可能的配对
因涉及图形, 具体细节见笔记
Dyson方程
\(D=\frac{1}{D_{F}^{-1}-\Sigma}\)
质量重整化: \(m^{2}=m_{0}^{2}+\Sigma\) 或 \(m^{2}=m_{0}^{2}+\delta m\)
作业：\(H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2}+\lambda x^{4}\), 求解本征值
注意要用\(H=\frac{p^{2}}{2 m_{R}}+\frac{1}{2} m_{R} \omega_{R}^{2} x^{2} + \delta m\ p^{2}+\delta \omega\ x^{2}+\lambda x^{4}\)做
20.11.11 第七次课：四体关联计算、圈图计算和波函数重整化
补充材料
Shankar书上重整化相关部分
Shankar书上重整化相关部分
Peskin书上重整化相关部分
Peskin书上重整化相关部分
Peskin书上维度正规化部分
Peskin书上通过对\(\Pi_2\)的计算, 引入维度正规化
课堂笔记, 课堂笔记2
主要内容：
回顾与本节内容概述
Gauss积分
有相互作用后, 会重整化质量、频率等参数
Dyson方程与质量重整化\(m_{R}^{2}=m^{2}+\delta m^2\)
\(\int \frac{k^{d-1} d k}{k^{2}+m^{2}}\), 只有维度为1才不发散
四体之间的散射
累积量展开
\(\left\langle\phi(x) \phi(y) \phi\left(y^{\prime}\right) \phi\left(x^{\prime}\right)\right\rangle = =\sum_{l=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{l}}{l !}\left\langle\hat{O} u^{l}\right\rangle_{0}\)
具体计算中只有4个点都参与散射过程的才有贡献
逐阶展开
\(l=0\), \(\langle\hat{O}\rangle_{0}^{c}=\frac{1}{V^{4}} \sum_{k_{1} k_{2} k_{3} k_{4}}\left\langle\phi\left(k_{1}\right) \phi\left(k_{2}\right) \phi\left(k_{3}\right) \phi\left(k_{4}\right)\right\rangle_{0}^{c} e^{i\left(k_{1} x+k_{2} y+k_{3} y^{\prime}+k_{4} x^{\prime}\right)}\), 具体见笔记
\(l=1\), \(\left\langle\hat{O} \frac{(-1)^{l}}{1!} u\right\rangle_{0}^{c}=-\left\langle\phi(x) \phi(y) \phi\left(y^{\prime}\right) \phi\left(x^{\prime}\right) \frac{i \lambda}{4 !} \int d z \phi^{4}(z)\right\rangle_{0}^{c}\), 有贡献的是vortex, 具体见笔记
\(l=2\), \(\left(\frac{i\lambda}{4!}\right)^{2} \frac{1}{2!} \int\left\langle \phi(x) \phi(y) \phi(y^{\prime}) \phi(x^{\prime}) \phi^{4}(z) \phi^{4}(z^{\prime})\right\rangle_{0}^{c} dz dz^{\prime}\), 开始出现圈图贡献, 具体见笔记
转到动量空间计算
高能物理学家使用很多trick(如Feynman trick)
凝聚态物理学家大多讨论\(k_{1} \sim k_{2} \sim k_{3} \sim k_{4} \sim 0\), 此时三个圈图等同, 此时变为ln发散
还可以维度正规化计算
波函数重整化
重整化质量(重整化耦合常数)、裸质量(裸耦合常数)
实验上可以观测到一个质量, 发散项互相抵消, 最后给出有效值.
具体细节见笔记
作业：计算\(\frac{\int d x x^{2} e^{-\frac{a}{2} x^{2}-b x^{4}}}{\int d x e^{-\frac{a}{2} x^{2}-b x^{4}}}\)
(1)求解表达式, 展开至3阶
(2)用图表示每一个解
(3)设\(a=1\), 展开至10阶, 比较严格结果和数值结果. 可以发现结果就是所有连接图的贡献.
20.11.18 第八次课：两种重整化的等价性、重整化群
补充材料
卡西米尔力 苗兵
Peskin书上格点规范部分
Peskin书上格点规范部分
Addendum to Wilson's theory of critical phenomena and Callan-Symanzik equations in 4−ε dimensions
Callan-Symanzik equations
Wilson, Fisher, Critical Exponents in 3.99 Dimensions
课堂笔记, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
回顾与本节内容概述
两种重整化的等价性详细内容请点击
Casimir力
没有时间详细讲述的内容
Effective potential/action: 引入Source \(J\), \(\int\mathrm{D}\phi e^{-S+J\phi}=Z=e^{iW[J]}\)
Callan-Symanzik equation.
重整化群的基本思想
Ising model标度变换(实空间)
\(H=-J\sum_{i} \sigma_{i} \sigma_{i+1},\quad \sigma_{i}=\pm 1\)
把所有偶数格点"挖"出来, 积分掉
\[Z=\operatorname{Tr} e^{-\beta H} = \operatorname{Tr} e^{\beta J(\sum_{i}\sigma_{i}\sigma_{i+1})} = \operatorname{Tr}_{\text{odd}} e^{\beta J^{\prime}\sum_{i}\sigma_{2i-1} \sigma_{2i+1}}\]
Re-scale(重新标定index), 具有自相似性
找\(J^{\prime}=R(J)\), 即标度不变点
\(\phi^{4}\)-RG(动量空间)
积分或\(\operatorname{Tr}\)掉短波shell, 留下\(\int_{|k|\leq b\Lambda} \mathrm{D}\tilde{\phi} e^{-S_{\text{eff}}[\tilde{\phi}]}\)
\(\phi(k^{\prime})=z\phi(q)\), \(|q|\leq \Lambda\)
总结和二者比较
实空间扩大(粗粒化), 损失小尺度细节; 动量空间缩小, 损失高能细节
\(J^{\prime}=R(J)\), 由于损失信息, RG无逆
比较表格详细内容请点击
RG的优势
与重整化相比, 对具体形式没有特殊要求, 更具普适性
由于取的shell很薄, 总可以做微扰, 一般只需要展开到低阶项. 在凝聚态中一般不超过二阶.
re-scale不变的与临界点有关, 可以自然用来处理相变和临界现象
RG与临界现象之间的关系
Landau相变理论的缺陷
\(-a \Delta^{2} + b\Delta^{4}\), 预言的临界指数一定是\(\frac{1}{2}\), 这与实验和很多模型不符
新现象的出现
Onsager给出2D Ising model严格解, 杨振宁给出其临界指数为\(\frac{1}{8}\)
RG处理临界现象的可能性
由于各种临界指数不规律, 考虑一定与能标\(\Lambda\)有关
20.12.02 第九次课：重整化群
补充材料
Peskin, Chapter10_Systematics of Renormalization
Peskin书上Chapter 10涉及表观发散度的部分
Peskin, Chapter12_RG
Peskin书上Chapter 12的Renormalization Group部分
Altland_RG
Altland, Simons书上涉及RG的部分
Stoof, Ultracold Quantum Fields
Stoof的书Ultracold Quantum Fields, 涉及BEC interaction
梁希侠 Ch9 重整化方法
梁希侠老师《高等统计力学导论（第二版）》中重整化(群)部分
课堂笔记1, 课堂笔记2, 课堂笔记3, 课堂笔记4
主要内容：
回顾与本节内容概述
重正化的两种方法：
抵消项方法：高能物理常用(QED, QCD), 强烈依赖于\(\mathscr{L}\)的具体形式
RG(Renormalization Group)：适合于研究相变
第一种形式有更清晰的物理图像; 第二种适用面更广, 更适合研究相变问题. 本质上这两种方法是等价的, 抵消项方法其实也可以得到\(\beta\)-function, 但操作很难, 实用性不如RG.
Ising model：细节无关, 相变只由低能物理决定.
RG一般的三个步骤：上节表格详细内容请点击
没有时间详细讲述的内容
Feynman diagram的表观发散度(涉及图论的一些内容)
重整化群的基础知识
半群(无逆)
三个类似的model
\(\phi^4\)模型： \[Z=\int D \phi e^{-\int d x\left[\frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)^{2}+\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}+\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}\right]}\]
磁性： \[z=\int D \vec{m}\ e^{-\beta \int H d \vec{x}}=\int D \vec{m}\ e^{-\beta \int\left[\frac{t}{2}(\nabla \vec{m})^{2}+k \vec{m}^{2}+\lambda \vec{m}^{4}\right] d \vec{x}}\]
BEC interaction： \[Z=\int D \phi^{\dagger} D\phi e^{-\beta \int dx\ \phi^{\dagger}\left(-\nabla^{2}-\mu\right) \phi+g|\phi|^{4}} \]
表观发散度(Superficial divergence)
定义
指的是参数与尺度/能标之间的关系, 有两种定义方式
\(g \sim L^{\nu}\) OR. \(g \sim \Lambda^{-\nu}\)
分析\(\phi^{4}\) theory的表观发散度
\[ S=\int dx\ \left[\frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)^{2}-\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}-\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}+g_{n} \phi^{n}\right] \]
\[ [\phi]=1-\frac{d}{2}, [m]=-1\]
\(m \sim L^{-1} \sim \Lambda\), 即能标越大, 尺度越小(细节越清楚), 质量越大.
三种情况
\[L^{\nu}=\Lambda^{-\nu} \left\{\begin{array}{lll} \nu > 0, & \text{relevant} \\ \nu = 0, & \text{marginal} \\ \nu relevant低能时很强, 不能用perturbation; irrelevant低能下不重要, 但注意不是直接扔掉, 而是指perturbation可以奏效
发散度的意义
\(x \rightarrow x^{\prime}=\lambda x\)
空间拉伸后, 能量不变
具体计算(具体细节见笔记)
计算一阶贡献
计算二阶贡献(注意为了方便要列表)
在shell中求解会变得很简单
20.12.09 第十次课：\(\phi^4\)重整化群
补充材料
Peskin, P79, Yukawa Interaction
Peskin书上Yukawa Interaction部分, 作为质量部分修正增大、相互作用部分修正减小的理解.
Peskin, \(\phi^4\) RG
Peskin书上\(\phi^4\) RG部分, 有本节课涉及的很多推导细节
Altland_RG
Altland, Simons书上铁磁系统RG的部分, 作为处理\(\phi^4\) RG过程的参考
秦敢 Ch5 非线性力学简介
秦敢、向守平老师《力学与理论力学》中非线性力学部分, 重点关注第2节, 第6节
Thomas Johnson, Bssics of Quantum Spin Liquids
课堂笔记1, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
回顾与其他补充
上节课最后表格勘误(具体见课堂笔记)
未细讲的内容——非线性分析
对参数随能标变化的微分方程做非线性分析(参考秦敢老师《力学与理论力学》中非线性力学部分)
下节课预告——BKT相变
\(\left\{\begin{array}{lll} [\phi]=1-\frac{d}{2} \\ [\lambda]=4-d \end{array}\right.\)
可见\(d>4\)和\(d而\(d=2\)使\([\phi]\)无标度, 与BKT相变有关
Spin liquid 与 场的衍生
\(\phi^4\)的质量修正和相互作用修正计算(具体过程见笔记)
质量修正部分增大
相互作用修正部分减小
重点注意: 相互作用修正部分减小可以从二阶微扰使能量降低来理解
\[S_{\text{eff}}=\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} \phi\right)^{2}+\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}+\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}+\delta m \phi^{2} \underline{-\frac{\delta \lambda}{4 !} \phi^{4}}\]
\[\delta \lambda \propto \frac{\lambda^{2}}{V} \sum_{k} \frac{1}{\left(k^{2}+m^{2}\right)^{2}}\]
重整化群过程与重整化流分析
动量空间的重整化群三步与Kardanoff block类似
保证形式不变, 分析不动点、重整化流(具体图示见笔记)
Gaussian Point(对应自由粒子): \(\lambda^{*}=m^{*}=0\)
Wilson-Fisher(WF) Point: \(\lambda^{*}\leq 0, m^{*}\leq 0\)
作业：讨论
\(\left\{\begin{array}{lll} m^{2}(b) \\ \lambda(b) \end{array}\right.\)
随能标的变化趋势. 重复出书上的图.
20.12.16 第十一次课：重整化流具体分析与BKT相变
补充材料
XG Wen, 3.5.7 Fixed points and phase transitions
XG Wen书上涉及重整化群流的部分, 具体分析两张图阐释清楚了重整化群流的分析过程. 与Universality的概念联系起来.
梁希侠 6.4 流向与临界点
梁希侠老师书上分析重整化流和临界点行为的部分
杨展如 8.4-8.8
杨展如书上重整化群部分
Nagaosa, 3.3 Kosterlitz-Thouless transition
Nagaosa书上涉及BKT相变的部分
XG Wen, 3.3 Path integral approach to interacting boson systems
XG Wen书上涉及boson系统路径积分, 其中的3.3.5小节还有"Superfluid as a toy universe"这样很前卫的观点
PAM Dirac, 1927 The quantum theory of the emission and absorption of radiation, 114(767), 243-265. 原文下载
1927年Dirac的QED原始论文, 第一次提出了\(\phi=r e^{i \theta}\).
Volovik, The universe in a helium droplet
课堂笔记1, 课堂笔记2, 课堂笔记3, 课堂笔记4
主要内容：
重整化流分析(具体图示见笔记)
Fixed point与Universality
不同的参数flow到同一个Lagrangian, 区分了不同的phases(universality). 任意小的差别的初始点, 都会跑到不同的fixed point去, 中间的线实际上起着相边界的作用.
Stable phase: 平均场(低能) + 涨落(高能)
BKT相变
历史沿革
模型建立
两个角度: 磁性或BEC(具体计算见笔记)
其他补充
为何低维系统不稳定？(证明方法都是反证法)
一维声子: \(\left\langle x_{i}^{2}\right\rangle=\frac{1}{L} \sum_{k} n_{k} \sim \int_{0}^{\text{BZ}} dk \left(\frac{1}{e^{\beta v_{k}}-1}\right)\)
磁性: \(\left\langle M_{i}^{2}\right\rangle \sim \frac{1}{V} \sum_{k} n_{k} \sim \int \frac{1}{e^{\beta v_k^{2}}-1} k dk \)
文小刚的 Superfluid as toy Universe.
真实宇宙: 激发的是光子, 传递的是Coulomb相互作用\(\frac{1}{r}\), 对应的charge就是电荷
Superfluid宇宙: 激发的是声子, 传递的相互作用\(\frac{1}{r^{4}}\), 对应的charge是vortex
BEC: 如果能凝聚, 处于激发态的原子应该是有限值, 但实际计算出是发散的
作业：讨论文小刚书上problem 3.3.3.
XG Wen, problem 3.3.3
20.12.23 第十二次课：BKT相变
补充材料
XG Wen, 3.5 Renormalization group
XG Wen书上重整化群部分, 重点是3.5.4部分, 涉及一些具体计算过程.
Shankar, 18.4.2 Renormalization Group Analysis of the Sine-Gordon Model
Shankar书上Sine-Gordon Model重整化群分析部分, 涉及一些具体计算过程
Ahamed, Cooper, Pathak, Reeves, The BKT transition
讨论了一些实验上的进展
Atland, Simons, 8.6 BKT transition
Simons书上涉及BKT相变的部分, 更接近1973年Thouless的方法
XG Wen, 3.3 Path integral approach to interacting boson systems
XG Wen书上涉及boson系统路径积分, 其中的3.3.5小节还有"Superfluid as a toy universe"这样很前卫的观点
Kosterlitz, Thouless Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids. 原文下载
Thouless的原始论文, 应用了位错(dislocation)理论.
课堂笔记1, 课堂笔记2
主要内容：
重整化群分析
\(\mathrm{d}y=Dy\mathrm{d}l+Ay\mathrm{d}l=(D+A)y\mathrm{d}l\)
0阶项: \(Dy\mathrm{d}l\). \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}l}=Dy \Leftrightarrow y\propto e^{Dl}\)
修正效应: \(Ay\mathrm{d}l\).
相边界对应着\(D+A=0\)
不能做平均场的原因
虽然每一种高能贡献都很小, 但高能对应很多态, 加在一起贡献会很大.
表现为虽然初始位置很接近, 但最终会达到完全不同的fixed points.
XY model
\(H=const+\frac{J}{2}\int \mathrm{d}\vec{x}(\nabla \theta)^{2}\)
重要性质
0阶项(表观发散度): \(D=0\). 一阶修正对该系统至关重要.
两种解
平面波解: \(\theta=\vec{k}\cdot\vec{x}\), 对应phonon/magnon激发
2D Coulomb gas: \(\theta \sim \frac{1}{2\pi}\ln|\vec{x}|\), 对应vortex激发
半经典处理方法
Thouless定义正负vortex
热力学分析
对于1个vortex\(J\pi=2k_{B}T\)
\(F=U-TS=J\pi\ln(\frac{L}{a}) - 2k_{B}T\ln(\frac{L}{a})\)
超过某一个临界温度后, 系统倾向于产生vortex以降低自由能.
注意: 这种分析图像并不总是成立的, 如Ising model里面就不成立.
场论处理
关联(本节课计算的核心)
1d: 指数衰减; 2d: 幂函数衰减; 3d: 定值
BKT相变的RG分析
20.12.30 第十三次课：BKT相变
补充材料
Nelson, Kosterlitz Universal Jump in the Superfluid Density of Two-Dimensional Superfluids. 原文下载
Nelson, Kosterlitz的文章, 用的是实空间RG.
Jose, Renormalization, votices, and symmetry-breaking perturbation in the two-dimensional planar model. 原文下载
最早利用二维格点的对偶处理该问题的文章
课堂笔记1, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
BKT相变的几种处理方法
半经典处理(不一定可靠)
Thouless(1973), Nelson-Kosterlitz(PRL)和Simon书上的处理方法
实空间RG的方法
Wilson RG
文小刚和Shankar书上采用的方法
Jose的对偶方法
Nagaosa书上采用的方法
2、3、4都是自洽的方法. 本节课主要采用第3和第4种方法.
Wilson RG方法(具体见笔记)
格点对偶方法
Villian transformation
\[e^{\beta J\cos(\theta)} \rightarrow \sum_{m} e^{\beta J - \frac{1}{2}\beta J(\theta-2\pi m)^{2}}\]
注意: 不是恒等式, 但确实是一个非常好的近似.
Possion求和
\[\sum_{n}h(m)=\sum_{l}\int \mathrm{d}\phi \tilde{h}(\phi)e^{2\pi i l \phi}\]
物理中其他常用的求和: Euler求和 \(\sum_{n=1}^{k}f(n) \rightarrow \int_{1}^{k}f(x)\mathrm{d}x + \cdots\)
21.01.06 第十五次课：BKT相变和Ising model中的duality
补充材料
Onsager, Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition 原文下载
Onsager解决二维Ising model的原始文章.
Yang, The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model 原文下载
杨振宁最早给出二维Ising model的临界指数为1/8, 而不是Landau理论的1/2.
Kramers, Wannier, Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I 原文下载
Kramers, Wannier, Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part II 原文下载
Kramers, Wannier的原始文章.
Shankar, Chapter 7, The Two-Dimensional Ising Model
Shankar书上介绍2D Ising Model的部分, 涉及高低温展开, Kramer-Wannier对偶和\(\tanh\)形式关联函数计算
Shankar, Chapter 7, The Two-Dimensional Ising Model
Shankar书上介绍2D Ising Model的部分, 涉及高低温展开, Kramer-Wannier对偶和\(\tanh\)形式关联函数计算
Shankar, 19.1, Duality in the \(d=2\) Ising Model
Polyakov, 1.3, Discrete Global Symmetries
Polyakov书上处理离散格子上关联函数计算的方法
课堂笔记1, 课堂笔记2, 课堂笔记3, 课堂笔记4
主要内容：
BKT相变的对偶(具体细节见笔记)
最重要的数学技巧是: Villian transformation + Possion求和
\[e^{k\cos(x)} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi k}} \sum_{q=-\infty}^{+\infty} e^{k-\frac{q^{2}}{2k}}+iqx \]
\[k=3\]
Figure.1 k=3 f(x)
\[k=1\]
Figure.2 k=1 f(x)
\[k=0.1\]
Figure.3 k=0.1 f(x)
第一步\(Z = \int D\theta e^{\beta J \sum_{ij}\cos(\theta_{i}-\theta_{j})} \)
第二步: 利用Villian transformation + Possion求和, 从连续的\(\theta\)变为离散的\(n\)
第三步: 重新标记符号
第四步: 找\(l_{\mu}(r)\)的解, 去掉\(\delta\left[\sum_{\mu}l_{\mu}(r) - l_{\mu}(r-\mu)\right]\)的限制
第五步: 再利用Villian transformation + Possion求和, 连续化为\(\phi\), 并使用了中性条件.
第六步: Sine-Gordon方程与近似
Ising model的Kramers-Wannier对偶
高温展开
\(Z=Tr(e^{-\beta H})=\sum_{ij}\prod e^{K S_{i}\cdot S_{j}}=\cosh(K)\sum \prod [(1+\tanh(K))S_{i}S_{j}] \)
如果\(\sum S_{1}S_{2}=0\), \(\sum S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}=0\)
\(Z=2^{N_{s}} \cosh^{N_{s}}(K)\)
低温展开
\(Z=\sum \prod e^{KS_{i}S_{j}}=2 e^{k \varepsilon_{0}}+e^{k \varepsilon_{0}} N_{s} e^{-4 k}+\text{2 loops}+\text{3 loops}+\cdots \propto f(e^{-2K})\)
高低温对偶
\(\frac{Z_{H}}{2^{N} \cosh ^{2 N}(K)}=1+N \tanh ^{4}(K)+2 N \tanh ^{6}(k)+\cdots\)
\(\tanh(K)=e^{-2K} \Rightarrow K_{c}=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})=0.44067\)
作业：请尝试求解Honeycomb lattice上的BKT相变.(注意: 要画lattice图, 会更清晰.)
21.01.10 第十六次课：Bosonization(玻色化)
补充材料
1934, F. Bloch, Inkoharente Rontgenstreuung und Dichteschwankungen eines entarteten Fermigases
首次引入了"sound wave"的概念
1950, Tomanaga, Remarks on Bloch's Method of Sound Waves applied to Many-Fermion Problems 原文下载
1964, Luttinger, An Exactly Soluble Model of a Many‐Fermion System 原文下载
Luttinger提出的严格可解模型.
Onsager, Celebrating Haldane's `Luttinger liquid theory' 原文下载
一篇完整回溯Haldane's Luttinger液体理论的文章.
Shankar, Chapter 17,18 Bosonization
Shankar书上介绍Bosonization的部分
Simons, Interacting fermions in one dimension
Simons书上一维相互作用费米子部分, 涉及一些Bosonization
C. L. KaneLectures on Bosonization
课堂笔记1 课堂笔记2 课堂笔记3
主要内容：
2D或(1+1)D体系特殊性的来源(凝聚态物理的特别之处就在于低维物理)
1D Maxwell equation
一维Maxwell equation: \(\mathscr{L}=\dot{A}^{2}-(\partial_{x}A)^{2}\)
一维波动方程: \(\mathscr{L}=\frac{1}{2}[(\partial_{t}\phi)^{2}-v^{2}(\partial_{x}\phi)^{2}]\)
XY model/superfluid: \(\mathscr{L}=\frac{1}{2}[(\partial_{t}\theta)^{2}-(\nabla\theta)^{2}]\)
形式上都是典型的玻色子形式.
连续性方程\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\vec{J}=0\)
在(1+1)D有通解: \(\rho=\partial_{x}\phi\), \(j=-\partial_{t}\phi\)
复变函数
conformal对称性: 保角变换
\(\ln|z|\)对应的2D Green函数
手征性(chiral)
高维Fermi球可以激发在不同方向; 但1D Fermi面的激发只有Left和Right两种
统计行为
\(d\geq 3\)时, 只有fermion或boson
但在低维下, 还可以有anyon
Linear spectra/Linear excitation
1D情况下在Fermi面附近是线性谱
补充: 需要有个cutoff \(a\), 这是由于Pauli不相容原理, 太近无意义.
Jordan-Wigner transformation
fermion用boson表示
\(f(x)=e^{i\pi\int_{-\infty}^{x}b^{\dagger}(y)b(y)dy}b(x) \), exp部分称为string.
关键在于\(\theta_{i}\)只与\((-\infty,i)\)部分有关
boson用fermion表示
\(\psi(x)=e^{i\theta\int_{-\infty}^{x} f^{\dagger}(y^{\prime})f(y)dy}f(x) \)
也可以表示anyon
Bosonization(玻色化)
目标: 将fermion用\(n\)及\(\phi\)的场描述(即用boson描述)
核心
\[b(x) \rightarrow e^{i\phi(x)}\]
这个表达式符合1927年Dirac文章的思想, 重要的是考察对偶的场是什么
但这里的表达形式仍然有问题, 比如会导致粒子数不守恒.
因此现有的定义反映出一些物理, 但仍然有不自洽的地方.
关键点(Shankar书上17.4 Bosonization Dictionary)
\[\psi_{\pm}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha}} e^{\pm i \sqrt{4 \pi} \phi_{\pm}(x)}\]
This is not an operator identity: no combination of boson operators can change the fermion
number the way \(ψ\) can. The equation above really means that any correlation function of
the Fermi field, calculated in the Fermi vacuum with the given \(\alpha\) cut-off, is reproduced
by the correlator of the bosonic operator given on the right-hand side, if computed in the
bosonic vacuum with the same momentum cut-off. Given this equivalence, we can replace
any interaction term made out of the Fermi field by the corresponding bosonic counterpart.
Sometimes this will require some care, but this is the general idea.
即: 上式not an operator Identity —— 不可能完全由\(\phi\)场构成fermion场; 但从关联函数的角度又是一样的, 用boson关联代替fermion关联时可观测量不变
lattice上得到Dirac eq
\(H=-t \sum_{n}\left(\psi_{n}^{\dagger} \psi_{n+1}+h.c.\right)+h \psi_{n}^{\dagger} \psi_{n} = \sum_{k}(-2 t \cos k+h) \psi_{k}^{\dagger} \psi_{k}\)
\[H_{\text {eff}}=\psi_{q}^{\dagger}\left(\begin{array}{cc}
vq & 0 \\
0 & -vq
\end{array}\right) \psi_{q}\]
其中\(\psi_{q}=\left(\begin{array}{l}
\psi_{R}(q) \\
\psi_{L}(p)
\end{array}\right)\)
关联函数计算(未讲完)
其他补充
Baker-Haustoff-Feynman公式
\[e^{-A}Be^{A}=B-[A,B]+\cdots\]
Glauber公式
\[e^{A}e^{B}=e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]}\]
21.01.13 第十七次课：Bosonization(玻色化)
补充材料
Delft, Bosonization for Beginners --- Refermionization for Experts 原文下载
介绍Klein operator \(\eta\)
A. Luther, Calculation of critical exponents in two dimensions from quantum field theory in one dimension 原文下载
证明\(\psi\)场和\(\phi\)场关联函数相同的详细文章.
Vadim Cheianov, Introduction in Bosonization I原文下载
针对fermion和boson之间的duality的一个简单图像.
Thirring, A soluble relativistic field theory(1958)原文下载
Thirring model, 是一个相对论fermion场论, 与Sine-Gordon model(boson)对偶.
课堂笔记1, 课堂笔记2, 课堂笔记3
主要内容：
玻色化基础
目的
\[\psi_{\pm}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha}} e^{\pm i \sqrt{4 \pi} \varphi_{\pm}(x)}\]
其中: \(4\pi\)系数是为了满足fermion反对易关系; \(\eta\)是Klein算符, 为了使boson粒子数不变; cutoff \(\alpha\)是为了使fermion关联和boson关联结果相同.
上式并不是恒等式, 可以看成某种"对偶性"
\(\varphi\)场
\(\varphi=\frac{1}{2}\left(\phi \pm \int_{-\infty}^{x} \pi\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right)\)
其中\(\phi\)场代表boson的相位涨落; \(\pi\)的积分代表string. 且\(\phi\)与\(\pi\)是共轭量
为简便有时也写成\(\varphi=\frac{1}{2}(\phi \pm \theta)\)
Shankar书上几个重要式子
\(\phi_{\pm}=\pm \int_{0}^{\pm \infty} \frac{d p}{2 \pi \sqrt{2 |p|}}\left(e^{i p x} \phi(p)+h . c .\right) e^{-\frac{1}{2}|\alpha| |p|}\)
\(\left[\phi_{\pm}(x), \phi_{\pm}\left(x^{\prime}\right)\right]=\pm \frac{1}{4} \operatorname{sgn}\left(x-x^{\prime}\right)\)
\(\left[\phi_{+}(x), \phi_{-}\left(x^{\prime}\right)\right]=\frac{i}{4}\)
正规序算符(Normal ordering operator)
定义
将湮灭算符\(a\)放在右边, 产生算符\(a^{\dagger}\)放在左边, 允许交换(\(\pm 1\)), 但不允许计算!
意义
处理问题有无穷大的背景Fermi海, 如果直接\(\psi^{\dagger}(x) \psi(x) \rightarrow \infty\), 需要扣除发散背景.
\(: A: \Leftrightarrow A-\langle 0|A| 0\rangle\)
Shankar书上关于正规序的几个重要式子
\(e^{i\left(A+A^{+}\right)}=: e^{i\left(A+A^{+}\right)}: e^{c}\)
\(e^{A} e^{B}=: e^{A+B}: e^{\left\langle A B+\frac{A^{2}+B^{2}}{2}\right\rangle}\)
证明关联函数相同
引入Klein/Majorana operator
满足\(\eta_{i}^{2}=1, \quad \eta_{i} \eta_{j}=-\eta_{j} \eta_{i}(i \neq j)\), 且\(\eta\)与\(\phi\)对易.
确定\(\beta\)值(具体过程见笔记)
很多项都可以归结为Sine-Gordon模型
\(\sim \cos\phi\)
涉及到Thirring model(相对论fermion)与Sine-Gordon model(boson)的对偶
另一种方法: 定义current algebra处理以上问题
Duality of fermion/boson的一个简单图像(见笔记)
21.01.17 第十八次课：Bosonization(玻色化)的一些问题和几个应用
补充材料
Tomonaga, Remarks on Bloch's Method of Sound Waves applied to Many-Fermion Problems 原文下载
最早的Tomonaga模型
Luttinger, An Exactly Soluble Model of a Many‐Fermion System 原文下载
Luttinger模型原始文章
Daniel C. Mattis, Exact Solution of a Many‐Fermion System and Its Associated Boson Field原文下载
Mattis纠正Luttinger没有正确处理密度算符对易子\([\rho(p),\rho(-p^{\prime})]\)的错误, 并真正求解正确的文章. 这篇文章是本节课第一部分的主要思想来源.
Mahan, 4.5 Tomonaga model
Mahan书上这部分将Tomonaga-Luttinger模型讲得很清楚.
Shankar, Chapter 17,18 Bosonization
Shankar, 18.4 Non-Relativistic Lattice Fermions in d=1
XIAO-GANG WEN, THEORY OF THE EDGE STATES IN FRACTIONAL QUANTUM HALL EFFECTS 原文下载
文小刚1992年的工作, 通过研究FQHE边界态的任意子激发, 给出了anyon的算符代数关系
Imambekov, Universal Theory of Nonlinear Luttinger Liquids 原文下载
非线性Luttinger liquids.
Andreas Karch and David Tong, Particle-Vortex Duality from 3D Bosonization 原文下载
将XY model推广到3D, 并从3D Bosonization给出particle-vortex duality.
Witten, Nonabelian bosonization in two dimensions 原文下载
Witten最早提出Nonabelian bosonization的文章.
课堂笔记1, 课堂笔记2
主要内容：
fermion用boson表示的具体实现
问题
\(\psi \sim e^{i\sqrt{4\pi}\phi}\), 上节课已经在数学上证明了其关联函数的等价性. 但仍未回答这种替代需要什么样的算符代数关系和这种替代的物理意义是什么
算符代数关系(数学本质是Kac-Moody algebra, 一种无穷维Lie代数)
这种算符代数关系正确形式最早是在Luttinger Liquid中给出的
\([\phi(x), \phi(y)]=\frac{i}{4} \operatorname{sgn}(x-y)\)
\([\partial \phi, \partial \phi] \propto \delta^{\prime}(x-y)\)
\([\rho(x), \rho(y)] \propto \delta^{\prime}(x-y)\)
\(\left[\rho_{q}, \rho_{-q}\right] e^{i q(x-y)} \propto \delta^{\prime}(x-y)\)
关键点：要注意\([\rho_{q},\rho_{q^{\prime}}]\)对易关系.
当维度\(d=2, \text{or}\ 3\)时, \([\rho_{q},\rho_{q^{\prime}}]=\sum_{k} C_{k}^{\dagger} C_{k+q+q^{\prime}}-\sum_{k^{\prime}} C_{k^{\prime}}^{\dagger} C_{k^{\prime}+q+q^{\prime}}=0\); 但在一维情况下并不正确
原因在于一维基态(GS)不能平移, 即\(k \rightarrow k+q\)是不合法的!
物理意义
物理上\(b_{q}:=\sum_{k} \sqrt{\frac{2 \pi}{L|q|}}\rho_{q}= \sum_{k} \sqrt{\frac{2 \pi}{L|q|}}C_{k}^{\dagger} C_{k+q}\)
即: particle-hole excitation等价于boson
Bosonization应用1：XXZ model
XXZ model
\[H=\sum_{i} S_{i}^{x} S_{i+1}^{x}+S_{i}^{y} S_{i+1}^{y}+\Delta S_{i}^{z} S_{i+1}^{z}\]
注：如果\(\Delta=0\), 即XX model(可用简单的Jordan-Wigner变换解决)
对于fermion, 也有类似形式
\[H=-\frac{1}{2} \sum_{j}\left(\psi_{j+1}^{\dagger} \psi_{j}+h.c.\right)+\Delta \sum_{j}\left(\psi_{j}^{\dagger} \psi_{j}-\frac{1}{2}\right)\left(\psi_{j+1}^{\dagger} \psi_{j+1}-\frac{1}{2}\right)+h \sum_{j} \psi_{j}^{\dagger} \psi_{j}\]
若\(\Delta\)较大, 可能有CDW(charge density wave)产生
若\(\Delta\)较小
经过Fourier transformation后
\[H=-\sum_{k} 2 t \cos k C_{k}^{+} C_{k}+h C_{k}^{+} C_{k}\]
当\(k_{F}=\frac{\pi}{2}\)时, \(\psi_{j}=\sqrt{a}\left[e^{i \frac{\pi}{2} j} \psi_{+}\left(a_{i}\right)+e^{-i \frac{\pi}{2} j} \psi_{-}\left(a_{j}\right)\right]\)
(具体推导见笔记)最终有Sine-Gordon的形式(且与XY model有类似形式)
\[H_{\mathrm{c}} K=\int d x\left(\frac{1}{2}\left[K \Pi^{2}+\frac{1}{K}\left(\partial_{x} \phi\right)^{2}\right]+\frac{y}{2 \pi^{2} \alpha^{2}} \cos \sqrt{16 \pi} \phi\right)\]
其中\(K=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4 \Delta}{\pi}}}\), \(y=K \cdot \Delta=\frac{\Delta}{\sqrt{1+\frac{4 \Delta}{\pi}}}\).
Bosonization应用2：FQHE中的edge state(文小刚1992年的工作)
任意子的交换统计性质:
\[\psi(x) \psi(y)=(-1)^{1/\nu} \psi(y) \psi(x)\]
联立
\(\frac{\partial \rho}{\partial t}+v \frac{\partial \rho}{\partial x}=0\)
\(H = 2 \pi \frac{v}{\nu} \sum_{k>0} \rho_{-k} \rho_{k}\)
将\(\rho_{k}\)与\(\Pi_{k}\)看作正则量
有\(\left[\rho_{k}, \rho_{k^{\prime}}^{\dagger}\right]=\frac{\nu}{2 \pi} k \delta_{k=k^{\prime}}\), \([\rho(x), \phi(y)]=-i \nu \delta(x-y)\)
且\(\rho=\frac{1}{2 \pi}\partial \phi\), \(\psi \sim e^{i\frac{1}{\nu}\phi(x)}\)
得任意子交换统计性质: \(\psi(x) \psi(y)=(-1)^{\nu} \psi(y) \psi(x)\)
Bosonization应用3：Random Ising model(不细讲)
Shankar书上18.3, 涉及到replica trick(最早是由Anderson提出的)
其他补充: particle-vortex duality、non-Abelian bosonization等
本学期内容回顾
主要内容：
基础内容
第一讲：内容简介及教材推荐
第二讲：从一个简单的例子开始：\(\delta^{(2)}(\vec{x})\)势的重整化
第三讲：发散问题; Path Integral.
第四讲：Gaussian积分与无穷维积分.
第五讲：具体计算(moment展开/cumulant展开=connected diagram)
\(\left\langle u e^{-\hat{O}}\right\rangle = \sum_{l}(-1)^{l} \frac{\left\langle u \hat{O}^{l}\right\rangle_{c}^{0}}{l!}\)
\(\phi^{4}\)-theory(第六讲——第十讲)
\(\phi^{4}\)理论重整化的完整过程
重整化与重整化群的等价性
Callan-Symanzik equation
BKT相变(第十一讲——第十五讲)
简单的热力学分析方法
Wilson重整化群方法(Thouless)
Kramers-Wannier对偶方法
Bosonization(玻色化)(第十六讲——第十八讲)
Bosonization定义及物理意义
证明代替后关联函数不变
Bosonization的几个应用
USTC|
BBS
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