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Matlab实现分离变量法求解一维热传导方程的初边值问题

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Matlab实现分离变量法求解一维热传导方程的初边值问题

2024-07-15 09:15| 来源: 网络整理| 查看: 265

考虑一维热传导方程的初边值问题:

$\mathbf{\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial x^{2}},\ 0\leq x\leq l,0\leq t\leq T,\ &(0.1)\\ u(0,t)=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\leq t\leq T,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &(0.2)\\ u(l,t)=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\leq t\leq T,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &(0.3)\\ u(x,0)=f(x),\ \ \ \ \ \ 0\leq x\leq l. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &(0.4)\end{matrix}\right.}$

(程序代码请直接看最后)

一、分离变量法求解

令 $u(x,t)=X(x)T(t),$ 代入方程(0.1)有

$X{T}'=a^{2}{X}''T,$

即

$\frac{{T}'}{T}=a^{2}\frac{{X}''}{X}.$

那么要使等式两边相等,显然需要两边均为与 $x$ 和 $t$ 无关的常数才行.令该常数为 $-\lambda$ ,则有

${T}'+\lambda a^{2}T=0,\ \ \ \ (1.1)\\ {X}''+\lambda X=0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.2)$

先考虑式(1.2).由边界条件(0.2)和(0.3)可知,

$X(0)=X(l)=0.\ \ \ \ \ \ (1.3)$

(1)首先解关于 $X$ 的方程组.

式(1.2)和式(1.3)是一个齐次常微分方程边值问题,又叫特征值问题.其非零解叫做特征函数,使得解非零的 $\lambda$ 叫做特征值.

第一,先找到特征值问题的通解.

考虑方程(1.2)具有形如 $X=e^{kx}$ 的解,代入式(1.2)有

$k^{2}e^{kx}+\lambda e^{kx}=0,$

即

$k^{2}+\lambda =0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.4)$

分情况讨论

1) $\lambda 0.$ 则方程(1.4)的解为 $k_{1}=\sqrt{-\lambda },\ \ k_{2}=-\sqrt{-\lambda }.$ 那么方程(1.2)的通解为

$X=C_{1}e^{\sqrt{-\lambda }x}+C_{2}e^{-\sqrt{-\lambda }x},$

其中

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