矩阵范数/谱/条件数 |
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一、向量和矩阵范数直观概念 在实数域中,数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中,向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析,我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。 "范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广.
二、矩阵范数 矩阵范数(martix norm)是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。 ------------------------------------------------------------------- NORM Matrix or vector norm. For matrices... NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)). NORM(X,2) is the same as NORM(X). NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum, = max(sum(abs(X))). NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum, = max(sum(abs(X'))). ------------------------------------------------------------------- 在 p = 1 且 的情况下,其范数可以以下方式计算: 若满足 p = 2(欧几里德范数)且 m = n(方阵)此两特殊情况时,诱导的矩阵范数就是“谱范数”。矩阵 A 的谱范数是 A 最大的奇异值或半正定矩阵 A*A 的最大特征值的平方根: 其中 A* 代表 A 的共轭转置 。
任何矩阵范数满足此不等式 其中 ρ(A) 是 A 的谱半径。事实上,可以证明 ρ(A) 是 A 的所有诱导范数的下界。 此外,我们有 -------------------------------------------------------------------三、谱半径 设A是n × n矩阵,λi是其特征值,i = 1,2,……,n。称ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……n}为A的谱半径。 即矩阵A的谱半径等于矩阵A的特征值绝对值的最大值。 ------------------------------------------------------------------- 在matlab中求谱半径方法: %Spectral radius %本函数用来求谱半径 function t=rho(A) t=max(abs(eig(G))); end
四、矩阵A的条件数 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖。 * 若 是 l2 矩阵范数则 其中σmax(A)和σmin(A)分别是A的极大和极小奇异值。 因此 * 若A是正规矩阵则 (分别是A的极大和极小特征值(根据模数)) * 若A是酉矩阵则 κ(A) = 1 ------------------------------------------------------------------- COND Condition number with respect to inversion. COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix. COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm: NORM(X,P) * NORM(INV(X),P).where P = 1, 2, inf, or 'fro'. ------------------------------------------------------------------- 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖,对应矩阵的3种范数,相应地可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A) 是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。
五、奇异值: the singular values of a compact operator T : X → Y acting between Hilbert spaces X and Y, are thesquare roots of the eigenvalues of the nonnegative self-adjoint operator T*T : X → X (where T* denotes the adjoint of T). ------------------------------------------------------------------- 六、正规矩阵 在数学中,正规矩阵 A 是与自己的共轭转置交换的复数方块矩阵,也就是说, A 满足 其中A* 是A 的共轭转置。 如果A* 是实系数矩阵,那么条件简化为 其中 {A}^T 是A 的转置矩阵。 ------------------------------------------------------------------- 酉矩阵 若一n行n列的复数矩阵U满足 其中为n阶单位矩阵,U*为U的共轭转置,为酉矩阵(英文:Unitary Matrix, Unitary 是归一或单位的意思)。即,矩阵U为酉矩阵,当且仅当其共轭转置U*为其逆矩阵: 。 ------------------------------------------------------------------- 如果λ是矩阵A的特征值,那么1/λ是inv(A)的特征值。Ax=λx 则 inv(A)Ax=inv(A)λx 即 x/λ=inv(A)x
条件数是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。 一个低条件数的问题称为良置的,而高条件数的问题称为病态(或者说非良置)的。 条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b,如果A的条件数大,b的微小改变就能引起解x较大的改变,数值稳定性差。如果A的条件数小,b有微小的改变,x的改变也很微小,数值稳定性好。它也可以表示b不变,而A有微小改变时,x的变化情况。 比如线性方程组 〔1 2 [x = [4 3.999 1] y] 7.999] 的解是(x,y)=(2,1), 而 〔1 2 [x = [4.001 3.999 1] y] 7.998] 的解是(x,y)=(-3.999,4.000) 可见b很小的扰动就引起了x很大的变化,这就是A矩阵条件数大的表现。 一个极端的例子,当A奇异时,条件数为无穷,这时即使不改变b,x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值,x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多,x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化,这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数,事实上,正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。 |
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