三角函数求值域【全】

2023-04-21 04:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

三角函数是高考的一个必考考点，在高中数学里关于「三角函数」有最基本的四个知识点，在高考中关于三角函数的考察基本上也只有这4类问题。

本篇是从求三角函数值域出发，总结常考的形式与方法。

出题形式主要是以下几种，一起开始吧！

一、 y=asinx+bcosx 型

例1. y=sinx+\sqrt{3}cosx

分析：这种是最简单的形式，通过辅助角公式可以转化成 y=Asin(\omega x+\varphi) ,通常用于求三角函数值域、单调区间、对称轴等性质时。

解： y=sinx+\sqrt{3}cosx=2sin(x+\frac{\pi}{3}) ,

y\in[-2,2]

【注】辅助角公式： asinx+bcosx=\sqrt{a^{2}+b^{2}}sin(x+\varphi),tan\varphi=\frac{b}{a}

二、 y=asin^{2}x+bsinxcosx+c 型

例2. y=sinxcosx-cos^{2}x

分析：利用倍角公式化成 y=Asin2x+Bcos2x ，化为例1 的形式，最后结合辅助角公式求解。

解：

三、 y=asin^{2}x+bcosx+c 型

例3. y=cos^{2}x+\sqrt{3}sinx+1

分析：并不是看到二次就要降幂，这时可利用同角正余弦平方和为1，转化成只有一种三角函数，换元后看成二次函数，注意换元时注明新元范围。

四、一个式子中同时出现 sinx+cosx 和 sinxcosx

例4. y=sinx+cosx+sinxcosx

分析：考虑现 sinx+cosx 和 sinxcosx之间的关系，（sinx+cosx)^{2}=1+2sinxcosx ,可以令 t=sinx+cosx\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]

五、 y=\frac{asinx+c}{bcosx+d} 型

例5. y=\frac{sinx}{cosx-2}

思路一：将原式转化为思路二：数形结合，可以将 (cosx,sinx) 看成单位圆上的一点，式子的形式就能够理解为(sinx,cosx)与（2，0）两点所确定直线的斜率。（推荐这个哦）

六、求导

其他形式的求值域，只能借助求导啦，不过求导也只是使用在应用解答题，填空题还是用以上几种方法哦！

完结！

peace~

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