Source: http://www.r-bloggers.com/comparison-of-two-proportions-parametric-z-test-and-non-parametric-chi-squared-methods/

考虑以下问题的例子。赌博公司所有人想验证用户是否在欺诈。为此他想比较某个玩家的成功次数和某个雇员的成功次数，从而确定其是否欺骗。在一个月时间内，玩家进行了74次赌博并赢了30次；在相同时期内，该雇员玩了103次赌博，而赢了65次。你的客户是个骗子吗？

这样的问题可以用两种不同的方法来解决：使用参数方法和非参数方法。

*参数方法的解决方案：Z-test

如果你能做如下两个假设，你就可以使用Z-test：成功的概率接近0.5；进行赌博的次数很高（在这两个条件下，二项分布就接近与Gaussian分布）。假设这些条件成立。在R中没有函数计算Z的值，因此我们记起了数学公式，然后创建相应的函数：

$$Z=\frac{\frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_s}}{\sqrt{\widehat{p}(1-\widehat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$$

Z.prop函数计算Z的值，输入参数为成功数（x1和x2）和赌博的总次数（n1和n2）。我们将问题中的数据代入这个函数：

我们获得的z值大于查表得到的z值，这样我们论断董事所关注的玩家确实是个骗子，因为其成功的概率高于非欺骗的用户。

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* 非参数方法的解决方案：Chi-squared test

如果现在不能对问题数据做任何的假设，那么就不能将二项分布近似为Gauss分布。我们就用chi-square test来解决这样的问题，这里会应用2X2的列联表（contingency table）。在R中有函数prop.test：

prop.test函数计算chi-square值，输入参数为成功值（向量x中）和总努力数（向量n中）。向量x和n也能预先申明，然后调用函数：prop.test(x,n,correct=FALSE)。

在小样本的情况（n值比较小），你必须指定correct=TRUE，从而改变chi-square基于continuity of Yates来计算：

在以上两种情况下，我们获得的p-value都小于0.05，于是我们拒绝相等的假设，所以该用户是个骗子。为了确认，我们比较计算的chi-square值和查表的chi-square值，在R中的计算为：

函数qchisq计算输入alpha和自由度后得到的chi-square值。因为之前计算的chi-square大于这里计算的查表chi-square，我们论断拒绝null hypothesis H0。