1. (a) 证明 (6) 定义了范数.

(b) 证明它们在 (5) 式意义下是等价的.

证明: $$\bex |(z,u)|'\leq |(z,u)|\leq 2|(z,u)|',\quad |(z,u)|''\leq |(z,u)|\leq \sqrt{2}|(z,u)|''. \eex$$

2. 证明定理 2.

证明: 对 $y_1,y_2\in \bar Y$, $$\bex \exists\ Y\ni y_{1n}\to y_1,\quad Y\ni y_{2n}\to y_2, \eex$$ 而 $$\bex Y\ni ky_{1n}+y_{2n}\to ky_1+y_2. \eex$$ 于是 $ky_1+y_2\in \bar Y$.

3. 证明: 若 $X$ 是一个 Banach 空间, $Y$ 是 $X$ 的闭子空间, 则商空间 $X/Y$ 是完备的.

证明: 设 $[x_n]$ 是 $X/Y$ 中的 Cauchy 列, 则 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ N,\ m>n\geq N\ra |[x_m-x_n]| =|[x_m-x_n]|