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设 A A A， B B B， C C C为三个事件，用 A A A， B B B， C C C的运算关系表示下列各事件： （1） A A A发生， B B B与 C C C不发生.

（2） A A A与 B B B都发生，而 C C C不发生.

（3） A A A， B B B， C C C中至少有一个发生.

（4） A A A， B B B， C C C都发生.

（5） A A A， B B B， C C C都不发生.

（6） A A A， B B B， C C C中不多于一个发生.

（7） A A A， B B B， C C C中不多于两个发生.

（8） A A A， B B B， C C C中至少有两个发生.

A A A发生就用 A A A表示， A A A不发生就用 A ‾ \overline{A} A表示； A A A事件与 B B B事件的交集可以用 A A A ⋂ \bigcap ⋂ B B B表示，或直接用 A A A B B B表示； A A A事件与 B B B事件的并集可用 A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B表示.

（1） D D D1= A A A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C；

（2） D D D2= A A A B B B C ‾ \overline{C} C；

（3） D D D3= A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B ⋃ \bigcup ⋃ C C C；

（4） D D D4= A A A B B B C C C；

（5） D D D5= A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C；

（6）“不多于一个发生”可理解为“都不发生”或“只有一个发生”，故 D D D6= A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A A A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B B B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C C C；

（7）“不多于两个发生”可理解为“只有两个发生”或“只有一个发生”或“都不发生”（即第六题的情况），故 D D D7= A A A B B B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A A A B ‾ \overline{B} B C C C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B B B C C C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A A A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B B B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C C C；

（8）“至少有两个发生”可理解为“只有两个发生”或“三个都发生”，故 D D D8 = A A A B B B C ‾ \overline{C} C ⋃ \bigcup ⋃ A A A B ‾ \overline{B} B C C C ⋃ \bigcup ⋃ A ‾ \overline{A} A B B B C C C ⋃ \bigcup ⋃ A A A B B B C C C.

已知 P P P ( A ) (A) (A)， P P P ( B ) (B) (B)， P P P ( C ) (C) (C)， P ( A B ) P(AB) P(AB)， P ( A C ) P(AC) P(AC)， P ( B C ) P(BC) P(BC)， P ( A B C ) P(ABC) P(ABC).试推导出 A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B， A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B， A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B ⋃ \bigcup ⋃ C C C， A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C， A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C C C， A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B ⋃ \bigcup ⋃ C C C的概率公式.

可先设样本空间为 S S S，那么 A A A的逆事件就可以用 S S S– A A A表示；基本公式： P P P( A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B)= P ( A ) P(A) P(A)+ P ( B ) P(B) P(B)– P ( A B ) P(AB) P(AB).

（1） P P P( A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B)= P ( A ) P(A) P(A)+ P ( B ) P(B) P(B)– P ( A B ) P(AB) P(AB)；

（2） P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B)= P P P(( S S S– A A A)( S S S– B B B))= P P P( S S S)– P ( A ) P(A) P(A)– P ( B ) P(B) P(B)+ P ( A B ) P(AB) P(AB)=1– P ( A ) P(A) P(A)– P ( B ) P(B) P(B)+ P ( A B ) P(AB) P(AB)；

（3） P P P( A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B ⋃ \bigcup ⋃ C C C)= P ( A ) P(A) P(A)+ P ( B ) P(B) P(B)+ P ( C ) P(C) P(C)– P ( A B ) P(AB) P(AB)– P ( A C ) P(AC) P(AC)– P ( B C ) P(BC) P(BC)+ P ( A B C ) P(ABC) P(ABC)；

（4） P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C)= P P P(( S S S– A A A)( S S S– B B B)( S S S- C C C))= P ( S ) P(S) P(S)– P P P( A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B ⋃ \bigcup ⋃ C C C)=1– P P P( A A A ⋃ \bigcup ⋃ B B B ⋃ \bigcup ⋃ C C C)；

（5） P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C C C)= P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B( S S S– C ‾ \overline{C} C))= P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B)– P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C ‾ \overline{C} C)；

（6） P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B ⋃ \bigcup ⋃ C C C)= P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B)+ P ( C ) P(C) P(C)– P P P( A ‾ \overline{A} A B ‾ \overline{B} B C C C)；

从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

以 A A A表示事件“4只鞋子中至少有两只配成一双”，则 A ‾ \overline{A} A表示事件“4只鞋子无配对“，先计算 P P P( A ‾ \overline{A} A)较为简便.考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的，故从5双（10只）鞋子中任取4只共有10×9×8×7钟取法，即 N ( S ) N(S) N(S)=10×9×8×7.现在求 N N N( A ‾ \overline{A} A).第一次任意取，共有10种取法，第2只只能在剩下的9只中且除去与已取的与第1只相配对的鞋子中任取一只，共有10-1-1=8种取法，同理第3只有8-1-1=6种取法，第4只有7-1-1-1=4种取法，因而 N N N( A ‾ \overline{A} A)=10×8×6×4.

P ( A ) P(A) P(A)=1– P P P( A ‾ \overline{A} A)=1– N N N( A ‾ \overline{A} A)/ N ( S ) N(S) N(S)=1–(10×8×6×4)/(10×9×8×7)=13/21.