我们知道，每个奇数都可以分解成两个奇数的乘积，并且除1以外的每个奇数一定能够分解成两个不同奇数的乘积。所以，一切奇数都可以写成两个平方数的差。举几个例子。奇数29，它可以分解成29×1。那么x－y=1，即x比y大1，所以，x=15，y=14。验证一下，15的平方等于225，14的平方等于196，那么，225－196=29。没有问题。再比如51。51=51×1，于是得x=26，y=25。26的平方等于676，25的平方等于625，676－625=51。正确。（但是，不能总是奇数本身乘以1这一种分解。51还等于17×3。于是有x比y大3，从而x=10，y=7。10的平方100减去7的平方49等于51。也就说，一个数是有可能有不只一种写成两平方数之差的方式。比如这里的51=26^2 －25^2；51= 10^2 －7^ 2。）

有几种不同表示方式，我们先不管。我们还是先来研究什么样的正整数可以写成两个平方数的差（有一种就算）。

刚才研究好了，所有大于1的奇数（3,5,7,9，...）都符合要求。现在来看一看偶数。2刚才说过了，不行，应该是因为2太小了吧。然后是偶数4。4=4×1=2×2。只有2×2符合同奇同偶的要求。但x＋y与x－y不可能相等（除非y=0，但这就没有意思了），所以4=2×2这种分解虽然是两偶，仍然不符合要求。再看偶数6。6=6×1=3×2，都是一奇一偶，不符合要求。

再看偶数8。8 =8×1，分解成奇乘偶，不行。8=4×2，偶乘偶，且4不等于2，所以这个分解可行。确实可行，可以设 x＋y=4，x－y=2。于是x=3，y=1。3的平方9减去1的平方1等于8。没问题。

偶数（本文中都是指正偶数）可以分成两类，一类是4的倍数，即4k(k=1,2,3,...)；具体来说就是4,8,12,16,20，...。另一类是4的倍数减2，即4k －2（ k=1,2,3,...）；具体来说就是2,6,10,14,18，... 。先说4k －2这一类。 4k －2 =2(2k －1)，即奇数与2的乘积。不管把它怎么分解，2这个唯一的偶因数，或者是被分解成的两个因数之一，或者是被分解成的因数的因数，不管哪种情况，被分解成的两个因数一定是一个偶数（有2）一个奇数（无2）。所以一切“奇数的2倍”都是不可以表示成两个平方数的差。具体来说，这些 4k －2形式的偶数是：2,6,10,14,18，...。

最后，来看一看4k形式的偶数。它们是4,8,12,16,20，... 。A取4，我们刚才说过了。然后是8，刚才也说过了。再看12。显然，4是它的一个因数，而4又等于2 ×2，那么我们一定可以把12分解成2乘以另一个不同于2的偶数(2 ×3)。也就是说，12可以分解成两个不同的偶数的乘积。大于12的其他4k形式的偶数同样可以分解成2与另一个比2大的偶数的乘积。总之，12以上的4k形式的偶数都能够分解成两个不同的偶数的乘积。于是，加上刚才说过的8（也是4k形式），我们就得出：除4以外的一切4k形式的偶数都可以表示为两个平方数的差。

总结：（1）3及3以上的所有奇数都可以表示为两个平方数的差。（2）8及8以上所有4k形式的偶数都可以表示为两个不同平方数的差。（3）除(1)和(2)以外的其他正整数都不可能表示成两平方数的差。

这个问题得以完美解决。这个问题的逻辑性极强，是锻炼思维的好问题。 返回搜狐，查看更多