【问题思考总结】为什么跳跃间断点变上限积分连续但是不可导?【直观理解 几何方法】 |
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问题
在搜索变上限积分相关知识的时候,对于间断点对变上限积分的影响不是很了解,找了很多资料都是严谨地证明,对于我这种考研只想把公式记下来,然后有一定理解的要求显然不符合,因此,在这里总结一种几何的理解。 理解先看结论: 1.当函数连续时,变上限积分一定可导。举例: 那么变化率就是矩形的面积除以Δx,也就是fx。那么讨论可导性,导数是fx,fx存在则导数存在,那么fx连续,自然导数处处存在。 2.函数有可去间断点,变上限积分可导举例: 之前我们提到,函数值存在就是导数存在。那么在这个区间上,有函数值不存在的点我们应该怎么考虑呢? 在之前的文章中提到过:一个极限是一个无穷逼近的过程,是一个函数,限定了他可以无限地接近一点。 【问题思考总结】一个大于0的数乘以无穷大一定是无穷大吗?【关于定点和动点,数和函数,定区间和变区间的辨析】 但是实际上,极限即使再小,他也是和一个邻域相关,因此本质上是一个区间。 在这里,我们的间断点实际上是一个点,那么它对应的面积是一条线的面积也就是0(Δx乘以函数值是有面积的),因此,这个间断点对面积的影响可以忽略不计,因此,对面积的变化率即积分的导数也就是没有影响。间断点没问题,整个函数自然也没问题了,等同于情况1。(好抽象) 3. 函数有跳跃间断点,变上限积分连续但是不可导举例: 因为我们这个变化率是用邻域定义的,考虑fx的左右极限,易证左极限不等于右极限(左边的变化率不等于右边的变化率),因此,面积在该点的变化率不存在,即变限积分在该点的导数不存在(这种方法也可以说明变限积分在可去间断点上的导数存在,但是这种方法说明不存在要更好一些,因为在可去间断点中涉及到补充定义的问题) 而又因为面积是逐渐变化的,因此,在面积的图象上是连续的,只不过是有尖点。 举例: 必要条件:可积则区间上一定有界。 充分条件: 连续必可积有界且只有有限个间断点(第一类或者震荡) 原函数的存在性 连续一定有原函数有第一类间断点一定没有原函数有第二类间断点可能有原函数有兴趣的小伙伴可以查一下证明。 以上均为思考和总结,如果有错误的地方请帮忙指正,定会致谢,欢迎博友一起讨论。 |
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