阶的定义：若 r r r 是最小的满足 a r ≡ 1 ( m o d d ) a^r \equiv1\pmod d ar≡1(modd) 的正整数。则称 o r d d ( a ) = r ord_d(a)=r ordd​(a)=r。例如： o r d 3 ( 5 ) = 4 , o r d 3 ( 11 ) = 5 ord_3(5)=4,ord_3(11)=5 ord3​(5)=4,ord3​(11)=5

阶的一些重要性质(以下默认阶存在，即 ( a , d ) = 1 (a,d)=1 (a,d)=1，默认数是正整数)： 性质1：若 o r d d ( a ) = r , ord_d(a)=r, ordd​(a)=r, 且 a q ≡ 1 ( m o d d ) a^q\equiv1\pmod d aq≡1(modd)。则： r ∣ q r|q r∣q。

证：若 r ∤ q r\nmid q r∤q，设 q = k r + l ( 0 < l < r ) q=kr+l(0