微积分基本定理（英语：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。

定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：给定任一连续函数，可以（利用积分）构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在于它保证了连续函数的反导函数的存在性。

定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式，表明某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理，因为它大大简化了定积分的计算。[1]

该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。[2]定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。

对微积分基本定理比较直观的理解是：把函数在一段区间的“无穷小变化”全部“加起来”，会等于该函数的净变化，这里“无穷小变化”就是微分，“加起来”就是积分，净变化就是该函数在区间两端点的差。

我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动，其位置为 x ( t ) {\displaystyle x(t)} ，其中 t {\displaystyle t} 为时间， x ( t ) {\displaystyle x(t)} 意味着 x {\displaystyle x} 是 t {\displaystyle t} 的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化 d x {\displaystyle dx} 除以时间的无穷小变化 d t {\displaystyle dt} （当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法：

整理，得

根据以上的推理， x {\displaystyle x} 的变化── Δ x {\displaystyle \Delta x} ，是 d x {\displaystyle dx} 的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。

詹姆斯·格里高利首先发表了该定理基本形式的几何证明[3][4][5]，艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式[6] 。巴罗的学生艾萨克·牛顿使微积分的相关理论得以完善。莱布尼茨使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今微积分符号，

微积分基本定理有两部分，第一部分是定积分的微分，第二部分是原函数和定积分之间的关联。

设 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }  ， f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }  于 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}   黎曼可积分，定义函数 F : [ a , b ] → R {\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }   如下：

则

若两函数 f , F : [ a , b ] ↦ R {\displaystyle f,F:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }   满足：

则有：

可简记为

(1) F {\displaystyle F}   于 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}   连续

因为 f {\displaystyle f}   为黎曼可积，所以 f {\displaystyle f}   有界 (否则会有矛盾) ，也就是存在 M > 0 {\displaystyle M>0}   使

根据黎曼积分的定义，若取 x , c ∈ [ a , b ] {\displaystyle x,\,c\in [a,\,b]}   很容易得到

那这样，如果取 δ = ϵ M {\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{M}}}   且 0 0}"> ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}   ，都存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0}   使得所有的 f {\displaystyle f}   定义域里的 x {\displaystyle x}   只要满足 0