级数收敛：如果级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^\infty u_i ∑i=1∞​ui​的部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn​}有极限s，即 l i m n → ∞ s n = s lim_{n\to \infty}s_n=s limn→∞​sn​=s 那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^\infty u_i ∑i=1∞​ui​收敛，这时极限是叫做这级数的和，并写出 s = u 1 + u 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + u i + ⋅ ⋅ ⋅ ； s=u_1+u_2+···+u_i+···； s=u1​+u2​+⋅⋅⋅+ui​+⋅⋅⋅； 如果 s n {s_n} sn​没有极限，那么称无穷级数 ∑ i = 1 ∞ u i \sum_{i=1}^\infty u_i ∑i=1∞​ui​发散。

如果给定一个定义在区间I上的函数列 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , u 3 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , u n ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ u_1(x),u_2(x),u_3(x),···,u_n(x),··· u1​(x),u2​(x),u3​(x),⋅⋅⋅,un​(x),⋅⋅⋅ 那么由这函数列构成的表达式 u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + u n ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ (1) u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+···+u_n(x)+··· \tag{1} u1​(x)+u2​(x)+u3​(x)+⋅⋅⋅+un​(x)+⋅⋅⋅(1) 称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

对于每一个确定的值 x 0 ∈ I x_0\in I x0​∈I，函数项级数（1）成为常数项级数 u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + u 3 ( x 0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + u n ( x 0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ (2) u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+···+u_n(x_0)+··· \tag{2} u1​(x0​)+u2​(x0​)+u3​(x0​)+⋅⋅⋅+un​(x0​)+⋅⋅⋅(2) 这个级数（2）可能收敛也可能发散。如果级数（2）收敛，就称点 x 0 x_0 x0​是函数项级数（1）的收敛点；如果级数（2）发散，就称点 x 0 x_0 x0​是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。

对应于收敛域内的任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 s ( x ) s(x) s(x)，通常称 s ( x ) s(x) s(x)为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 s ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + u 3 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + u n ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+···+u_n(x)+··· s(x)=u1​(x)+u2​(x)+u3​(x)+⋅⋅⋅+un​(x)+⋅⋅⋅ 把函数项级数（1）的前n项的部分和记作 s n ( x ) s_n(x) sn​(x)，则在收敛域上有 l i m n → ∞ s n ( x ) = s ( x ) lim_{n\to \infty}s_n(x)=s(x) limn→∞​sn​(x)=s(x) 记 r n ( x ) = s ( x ) − s n ( x ) r_n(x)=s(x)-s_n(x) rn​(x)=s(x)−sn​(x)， r n ( x ) r_n(x) rn​(x)叫做函数项级数的余项（当然，只有x在收敛域上 r n ( x ) r_n(x) rn​(x)才有意义），并有 l i m n → ∞ r n ( x ) = 0 lim_{n\to \infty}r_n(x)=0 limn→∞​rn​(x)=0

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式是 ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ， \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+···+a_nx^n+···， n=0∑∞​an​xn=a0​+a1​x+a2​x2+⋅⋅⋅+an​xn+⋅⋅⋅， 其中常数 a 0 , a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， a n , ⋅ ⋅ ⋅ a_0,a_1,a_2,···，a_n,··· a0​,a1​,a2​,⋅⋅⋅，an​,⋅⋅⋅叫做幂级数的系数。

性质1：幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^\infty a_nx^n ∑n=0∞​an​xn的和函数 s ( x ) s(x) s(x)在其收敛域I上连续。

性质2：幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^\infty a_nx^n ∑n=0∞​an​xn的和函数 s ( x ) s(x) s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式 ∫ 0 x s ( t ) d t = ∫ 0 x [ ∑ n = 0 ∞ a n t n ] d t = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 ( x ∈ I ) \int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum_{n=0}^\infty a_nt^n]dt=\sum_{n=0}^\infty\int_0^xa_nt^ndt =\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}(x\in I) ∫0x​s(t)dt=∫0x​[n=0∑∞​an​tn]dt=n=0∑∞​∫0x​an​tndt=n=0∑∞​n+1an​​xn+1(x∈I) 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

性质3：幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^\infty a_nx^n ∑n=0∞​an​xn和和函数 s ( x ) s(x) s(x)在其收敛区间 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)内可导，且有逐项求导公式 s ′ ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ’ = ∑ n = 0 ∞ ( a n x n ) ′ = ∑ n = 1 x n a n x n − 1 ( ∣ x ∣ < R ) s'(x)=(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)’=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)'=\sum_{n=1}^x na_nx^{n-1}(|x|