黎 玲 （梧州职业学院，广西 梧州 543002）

自2004 年以来，国家先后出台了一系列关于思想道德建设和大学生思想政治教育工作的文件，上海以此为契机开启了学校思想政治教育课程改革的探索之路，并于2014 年提出了“课程思政”的理念.2020 年在教育部关于印发《高等学校课程思政建设指导纲要》的通知中指出：专业课程是课程思政建设的基本载体.要深入梳理专业课教学内容，结合不同课程特点、思维方法和价值理念，深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果.理学类专业课程，要注重科学思维方法的训练和科学理论的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感.

“高等数学”是高职院校面向理工类专业和经管类专业开设的一门公共基础课程，以“服务专业、服务学生素质教学、服务学生职业发展”为宗旨，以“够用为度、应用为主”的教学理念实施教学.该门课程除数学知识外，还包含丰富的文化资源和历史底蕴，具有强大的育人功能，是培养学生立德树人非常有效的载体，在专业人才培养方面具有重要的地位和作用.如何充分挖掘课程所蕴含的思想政治教育元素，将思政教育贯穿在教育教学全过程，是当前的一个难点，本文以求函数的极值和最值为例，将知识点和思政教育结合进行教学设计，以推动课程思政的教学实践.

1.知识目的

理解函数极值点、极值和最值的概念；掌握求函数极值和最值的方法.

2.思政育人目标

（1）通过学习习近平“绿水青山就是金山银山”的理论，使学生意识到生态环保的重要性，并明确这是习近平新时代中国特色社会主义思想中生态文明思想的重要内容；

（2）通过对党员数学家华罗庚的简单介绍，让其思想观点，严谨治学、努力拼搏的精神，追求真理、爱党爱国的事迹对学生的个人道德意识及品行产生积极的影响，熏陶并提升学生的思想品格；

（3）使学生理解掌握大前提条件、数形结合及转化的思想方法，局部与整体、变化过程与变化结果的辩证对立统一的思想方法与思维方法；

（4）极值点的多值性，可以使学生客观全面地看问题，不以个人偏见片面地评价事物；

（5）利用函数的极大值不一定比极小值大，可以培养学生辩证唯物主义观，使学生明白任何事情都没有绝对的好与坏之分；

（6）人生之路并不是像一条直线一样，一帆风顺，而是一条有波峰和波谷的曲线，培养学生积极乐观的生活态度.

函数的极值和极值点的概念，用导数判断函数的极值和最值.

函数的极值和极值点的概念，用导数判断函数的极值和最值.

1.引入

首先，教师向学生展示三张图片，第一张是习近平于2005 年8 月15 日在浙江湖州安吉考察时提出“绿水青山就是金山银山”的科学论断；第二张是“绿水青山就是金山银山”这一科学论断在2017 年10 月18 日写入中共十九大报告；第三张是2021 年4 月25 日，习近平到桂林市阳朔县漓江杨堤码头考察，并指出桂林是一座山水甲天下的旅游名城，这是大自然赐予中华民族的一块宝地，一定要呵护好.其次，教师将桂林的山抽象出来，得到一条连续不断的曲线，并指出山顶就是极大值，山谷就是极小值，从而引出要学习的内容——函数的极值.

课程思政元素：（1）让学生懂得“绿水青山就是金山银山” 是指导中国生态文明建设的主要理论，该理论是习近平新时代中国特色社会主义思想中生态文明思想的重要内容；（2）让学生意识到生态环保的重要性；（3）使学生掌握从具体到抽象的转换思想.

2.函数的极值和极值点的概念

首先，给出极值的数学定义：设函数（）在点的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点（≠），都有：

（1）若（）＜（），则称（）为函数的极大值，称为极大值点；

（2）若（）＞（），则称（）为函数的极小值，称为极小值点.

极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点.

结合课件中的曲线，指出，，是极大值点，它们所对应的函数值（），（），（）是极大值；，是极小值点，它们所对应的函数值（），（）是极小值.

其次，教师向学生说明如下知识点：

（1）极大和极小只具有局部的意义，因为函数的一个极值只是它在某一点附近的小范围内的极大值或极小值；

（2）函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，比如课件中的曲线就有3 个极大值，2 个极小值；

（3）极大值可能会小于极小值，比如曲线中的极大值（）小于极小值（）.

再次，教师将这条具有多个极值的曲线比为一段曲折的人生，指出极大值就是人生的巅峰，极小值就是人生的低谷，起起落落是必经之路，是成长的过程.

最后，由2021 年是建党一百周年，引出我国有着跌宕起伏的一生的著名党员数学家——华罗庚，随后讲述华罗庚努力拼搏、甘于奉献、爱国爱党的故事.

课程思政元素：（1）使学生理解掌握数形结合的思想方法；（2）使学生潜移默化地被华罗庚为探索真理而勤奋艰苦的意志品质所熏陶；（3）学习华罗庚为了祖国的事业而放弃国外的优等待遇的爱国精神；（4）学习华罗庚坚定入党的决心和百折不挠的意志.

3.函数的极值和极值点的判断

首先，教师结合图像，一边演示动画，一边给出求极值和极值点的步骤：

（1）确定函数的定义域，这是一个大前提条件；

（2）找分界点，求出一阶导数（）以及在定义域内的所有驻点和导数不存在的点；

（3）分析上述所求各点附近的导数符号情况，并填写在表格中；

（1）确定函数的定义域≠0；

（3）利用分界点划分定义域，得到4 个开区间，并和分界点一起从小到大写在表格的第一行；然后判断在每个区间上导数的符号，并写在第二行中；导数是正的，则函数单调递增；导数是负的，则函数单调递减，并写在第三行对应的格子中；

（4）先增后降则为极大值，先降后增则为极小值，这些结果写在第三行中，并指出这里的极大值是比极小值小的.

表1 极值和极值点的判断

然后下结论：函数的极大值点为＝-1，极小值点为＝1；极大值为（-1）＝-2，极小值为（1）＝2.

课程思政元素：（1）使学生理解大前提条件、变化过程与变化结果的辩证对立统一的思想方法与思维方法；（2）利用极值点的多值性，可以使学生客观全面地看问题，不以个人偏见片面地评价事物；（3）利用函数的极大值不一定比极小值大，可以培养学生辩证唯物主义观，使学生明白任何事情都没有绝对的好与坏之分.

4.函数极值的应用

教师讲述利用极值理论拯救生命的故事.1953 年2 月，荷兰发生了海水倒灌灾难，这个灾难夺去了1 800 人的生命，毁坏了4.7 万间居民住宅.灾难之后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤.由于荷兰一半以上的国土位于海平面之下，因此该国需要筑起—条条海堤加以防范.科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，根据极值理论的数学原理设计，得出了新建堤防为5 米高的标准，这些海堤用来对付大自然可能发起的最恶劣的挑战.这样，1 600 万的荷兰居民得到了极值理论的保护.除此之外，极值理论还是新的海事安全建议中的核心内容.

课程思政元素：（1）通过具体的实例，让学生感受到数学在科学发展和经济生活中的重要位置；（2）列举生活中的例子可以提高学生学习的兴趣和积极性.

5.函数极值和最值的关系

首先，先给出函数最值的定义：设函数＝（）的定义域为，如果存在实数满足对于任意的∈，都有（）≤（或（）≥）成立，则称是函数＝（）的最大值（或最小值），记作＝（）＝（或＝（）＝）.

其次，让学生观察下列曲线，然后提问学生：最值一定是极值吗？最值和极值有什么区别和联系呢？

图1 某函数的曲线图

学生观察图形后回答：最小值是（），但它不是极小值；最大值是（），同时它也是极大值.

然后，和学生一起归纳总结极值和最值的区别和联系.

表2 函数极值和最值的区别

极值和最值的联系：极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值，所以在开区间（，）上若存在最值，则必是极值.

课程思政元素：（1）使学生掌握数形结合的思想方法；（2）使学生理解局部与整体辩证对立统一的思想方法.

6.最值的求法

首先，教师结合图像，一边演示动画，一边给出求极值的步骤：

（1）求出（）的所有驻点和不可导点；

（2）计算驻点、不可导点及端点处的函数值；

（3）比较上述点的函数值，最大的为最大值，记为，最小的为最小值，记为.

其次，以求函数（）＝-8+3 在区间［-1，3］上的最大值和最小值为例，进行巩固.

（1）由（）＝4-16＝4（-2）（+2）＝0 求出驻点＝0，＝2，＝-2（其中∉［-1，3］舍去）；

（2）计算驻点、不可导点及端点处的函数值：（-1）＝-4，（0）＝3，（2）＝-13，（3）＝12；

（3）比较函数值.故在［-1，3］上，最大值＝（3）＝12，最小值＝（2）＝-13.

课程思政元素：（1）培养学生将复杂问题简单化、步骤化的习惯；（2）使学生能够有条理、严密地思考，并清晰准确地表达.

7.最值的应用

首先，教师先引入在实际工程中常会遇到的问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”……这类问题可归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值、最小值问题（设计最佳方案）.

其次，教师讲解两道关于公寓租金和电路方面的例题.

一房地产公司有50 套公寓要出租当月租金定为2 000 元时公寓会全部租出去当月租金每增加100 元时就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费200 元的维修费试问租金定为多少可获得最大收入最大收入是多少

所以每套租金定为3 600 元可获得最大收入，最大收入为115 600 元.

在如图2 所示的电路中已知电源电压为内阻为求负载电阻为多大时输出功率最大.

图2

由电学知识可知，消耗在负载电阻上的功率为＝

课程思政元素：（1）从多角度拓展数学知识，并与机电类专业对接，使学生深刻领会学习函数极值和最值的目的和用途，深入理解本课程的基本概念和基本知识；（2）提高学生综合运用数学思想和方法分析问题、解决实际问题的能力，培养学生的动手能力和创新意识；（3）通过生活中的例子和专业课的例子，提高学生学习的兴趣和积极性，从而提高教学质量.

8.总结

首先，回顾极值和极值点的定义和求极值的四个步骤：求定义域、找分界点、列表和下结论；回顾求最值的三个步骤：求驻点和不可导点、计算三类点的函数值、比较函数值.

然后，教师告诫学生：一方面，一个国家、一个民族、一个单位、一个部门以及一个人的一生，本质上都是在追求最大值.同学们在高中是优秀的，是所在班级的极大值，但是来到大学之后，是否还是最大值呢？需要达到最大值，就需要大家努力学习、刻苦钻研，才能取得好成绩.如果沉迷于游戏和网络，则会变成极小值.除此之外，还要明白天外有天，人外有人，要不断努力，争取更大的进步.另一方面，在工作或学习生活中，遇到低谷并不可怕，那只是临时的，从长远来看，也许不是真正的低谷，将来还会有高潮，任何时候都不要气馁.当取得成绩的时候也要看长远，也许还有更高的山峰等待我们去攀登.我们要学会用发展的眼光去看待问题，低谷和顶峰只是人生路上的一个个转折点，要积极乐观地面对生活.

课程思政元素：（1）培养学生用发展的眼光看问题；（2）培养学生积极乐观的态度；（3）通过教师对学生的鼓励，让学生意识到不能荒废宝贵的大学时光，要努力拼搏，积极上进，不断拓宽自己的知识结构，提升个人能力，成为一名四有社会主义事业接班人.

以“绿水青山就是金山银山”“习近平考察广西桂林”为导向进行引入，在教学过程中讲述华罗庚努力拼搏、追求真理、爱党爱国的事迹，提升学生的思想品格，让学生理解掌握大前提条件、数形结合及转化的思想方法，局部与整体、变化过程与变化结果的辩证对立统一的思想方法与思维方法.同时让学生明白人生之路并不像一条直线一样一帆风顺，而是一条有波峰和波谷的曲线，使他们用发展的眼光看问题，并培养他们积极乐观的精神.通过将思政教育贯穿于教学始终，使学生在学到知识的同时，学会做人、做事，最终将学生的知识、能力升华为数学素养，有效发挥数学的育人功能.

数学学习与研究2022年17期