导数的定义 设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0​的某领域内有定义，若极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ( 1 ) \lim_{x \rightarrow x _0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\quad\quad(1) x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​(1) 存在，则称函数 f f f在点 x 0 x_0 x0​处可导，并称该极限为函数 f f f在点 x 0 x_0 x0​处的导数，记做 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0​)。 令 x = x 0 + Δ x , Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) x=x0​+Δx,Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​),则 ( 1 ) (1) (1)式可改写为 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f ′ ( x 0 ) ( 2 ) \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0) \quad\quad\quad(2) Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=f′(x0​)(2)所以，导数式函数增量 Δ y \Delta y Δy与自变量增量 Δ x \Delta x Δx之比 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy​的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称商差），而导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0​)则为 f f f在 x 0 x_0 x0​处关于 x x x的变化率。

导数的几何意义 在导数的定义中已经说过,导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0​)为 f f f在 x 0 x_0 x0​处关于 x x x的变化率；所以导数的几何意义就是切线(斜率)。 对应下图，直线 P Q ′ PQ' PQ′就是函数 f f f在 x 0 x_0 x0​处的导数(切线)，即 f ′ ( x 0 ) = P Q ′ f'(x_0)=PQ' f′(x0​)=PQ′