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第一节 从物理的角度来了解导数 人们最初研究导数是从各种物理现象开始的,现在我们就先扯扯物理吧o(* ̄▽ ̄*)o 我们都知道这个公式: x表示位移,t表示时间
这个公式又和导数有什么关系?我们从研究瞬时速度的表达式说起 学过高中物理的人都知道,在x-t坐标轴中,斜率表示速度对吧?(废话啊(o|o) ) 那么,对于x-t坐标轴而言,有 k表示在x-t坐标轴的斜率,它表示速度; x(t)表示一个位移函数其实也就是 我们不是要求瞬时速度喵?现在该怎么办? 莫急~就快了
你有没有发现,当Δt->0的时候,v就是瞬时速度了?没有?听我细讲~ 当时间间隔越来越小,不就越接近于瞬时了? 因为 且 代入,得到 这个式子样子已经接近于导数的定义式了,但是我们要求的是瞬时速度 所以这个时候该怎么? 当然是极限啦!极限大法好极限大法好d=====( ̄▽ ̄*)b 因为有 所以取极限,我们就得到 这就是瞬时速度的表达式了,其实这也是导数的定义式(不太正式而已hhh)。 第二节 导数的定义与公式一、定义 由于专栏不支持公式编写,所以我用word打了一遍 导数的定义(改编自度娘百科)特别的 微分dy和dx是微分,求导过程也就是微分过程(我们以后见到更多的是微分形式!或许是不用写极限这个臭长的式子才流行的吧...) 有人说,导数的本质是什么。其实这也不太好解释,毕竟有好多方面解释导数呢。这里我就简单说说: 导数本质是瞬时变化率,就是Δy/Δx的比值(有人估计到这里还是不太懂) 直白的说,设函数g(x)=kx,根据本质是瞬时变化率,而一次函数的变化率保持不变,那么g'(x)=k. 可以说,在线性函数中,导数就是斜率。 如果在曲线函数,那么导数就是切线斜率,这个我会在后面解释 二、公式 这里我就不给证明过程了,太长了(各大教科书都有证明过程的) 为了方便(偷懒),在这里我们用f'(x)=d(f(x))/dx表示 第三节 求导在这里,我尽量选择较简单的题(以基础为重) 例题1:已知函数f(x)=x^3+2x^2+3,求dy/dx 在这里主要是想让读者先熟悉微分形式 很明显,这个是让你求导的题 我们将使用定义来求导: 首先,取极限 代入f(x+Δx)和f(x),得 展开,得到 woc这么长化简,我们就得到了 约分,得到 现在就简单了,我们直接使用代入法,最终得到 即 到了这里,我们得到了一个结论,这个结论会使你的解题速度加快: 我把这个结论称为分别求导原则(只有加减的时候有效) 比如f(x)=x^2+5x 那么f'(x)=2x+5 只要你掌握了公式,这题瞬间就成了口算题 例题2:已知函数f(x)=(x^2+2x)(x^3+2x),求f'(x) 很明显,这里考察的是导数的乘积法则,我们令 那么 使用公式 即 又因为 代入公式,得到: 多项式展开,得到 这就是答案了 例题3:已知函数f(x)=(2x^3-3x+1)/(x^5-8x^3+2),求dy/dx 这里考察的是商法则的运用 这次我们试试如何用微分形式求导 令y=f(x), u=2x^3-3x+1 , v=x^5-8x^3+2 则 根据商法则的微分形式 其中 到这里,估计有人就看不懂了,这个du/dx究竟是什么东西?! 很简单,就是u对x求导(可以类比dy/dx)的意思。也就是u是一个新的函数,自变量仍然是x,而du/dx就是u函数的导数。 代入就得到 |
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