磁场的高斯定律

2024-06-09 17:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

磁场的高斯定律

贡献者： addis; _Eden_; lrqlrqlrq

本文处于草稿阶段。 预备知识　电场的高斯定律

　　1磁场的高斯定律（Gauss's law for magnetism）是麦克斯韦方程组中的一条方程，它描述了空间中磁场的散度为零这一性质，也就是说如果用磁感线的疏密表达磁场的强度，那么空间中任意一条磁感线都不会有起点和终点（这与电场不同，从一个正电荷出发可以有多条电场线延伸至远处）。

1. 磁场高斯定律

　　磁场的高斯定律：对于任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和任意闭合曲面，曲面上的磁通量为零。

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0~, \end{equation} 从电场线的角度看，这意味着如果统计穿过任意的闭合曲面的磁感线数量，那么从内部穿到外面和从外面穿到内部的磁感线是相等的。

　　也就是说空间任意一点的磁场散度为零。适用高斯定理可以写成微分形式：

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~. \end{equation} 上式表达的意思就是磁场的散度为零。如果将空间中某一点的磁场矢量看作是流体在该点的流速，那么磁场是无源无汇的。

　　接下来我们试着验证一下这一结论是否和毕奥—萨伐尔定律是一致的，也就是说我们能否直接从毕奥—萨伐尔定律所给出的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} (r)$ 的表达式推出磁场散度为零的共识。首先我们考虑静磁场下，电流是恒定的，因此电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不会在某一个点聚集或者散开，根据电流守恒方程 $\partial \rho/\partial t + \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} =0$ 因此有：

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0 ~. \end{equation} 结合毕奥—萨伐尔： \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{V'} ~. \end{equation} 利用矢量乘法的规则可得： \begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\times \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3}\cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{j}} )- \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})~. \end{equation} 由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} = 0$： \begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~. \end{equation}

　　注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况，而毕奥—萨伐尔定律只适用于静态（电流密度不随时间发生变化）的情况。

　　磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应，它反映了自然界没有孤立的磁单极（或者我们还没找到）。形象地看，任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点，它要么是闭合的回路，要么从无穷远来延伸到无穷远去。正因为磁场的这条性质，我们可以将磁感应强度 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 写成某个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的旋度，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 称为矢量势（矢势）。

1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面。

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