大一上学期高数期中复习 高数叔复习笔记 |
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出题形式:
判断间断点的方法 对于一些特殊的 对于这种:arctan1/x 我们也要考虑左右极限的情况: 习题: 1. 步骤1求间断点
当趋近于这个间断点的时候求极限 间断点1 存在极限2 那么就可以推出左右极限都存在且相等 但是在x==1处 无定义 那么为第一类可去间断点 间断点2的极限趋近于无穷大 那么极限不存在 为第二类无穷间断点 总结: 间断点的意思就是函数式在这一点处取不到 即是无定义 1.左右极限存在 那么为第一类间断点 2.左右极限只要有一个不存在 那么就为第二类间断点 例二: 步骤1 先看看这个函数在哪个点处是无定义的 步骤二:求趋近于间断点时 函数式的极限 根据极限的值 来判断间断点的类型 存在则为第一类 左右极限相等则为可去 反之为跳跃 极限不存在时 为第二类间断点
例三: 这个题要判断左右极限的值 分段函数要在分段点处判断 零点定理: 介值定理: 解题步骤: 例题: 解答: 例子:介值定理: 渐近线:
例子: 找渐近线的时候: 我们看它是否可以趋近于一个值或者无穷 看极限趋近于这两个时 对应的x值是取多少
当求极限时: 出现分子分母之比等于无穷大/无穷大 时 我们采用抓大头的方法 分子分母同除最高次方 间断点: 形式1: A(x)/B(x)类型: 0/0型:可去间断点 k/0型:无穷间断点
步骤二:在x趋近于间断点的时候 看看极限 例子: 出现: 这种题型得考虑左右极限: 零点定理: 7 零点题型: 1.构造函数 2.带端点到函数判断符号 找渐近线的时候: 1.找x趋近于无穷时找水平渐近线 2.找极限趋近于无穷时找铅直渐近线 导数:
当减去的右值也是一个变量的时候 我们只能大刀阔斧进行改变 计算题必须写这样的过程 但是填空题可省略过程 注意: 可导必连续 何为连续?极限存在时 即为连续 连续不一定可导 但是当分段的时候 我们就要针对左右导数同时进行判断
连续性和可导性:
例子: 在1处可导·那么在1处一定是连续的 连续那么对于分段函数来说左右极限都相等 可导也一样 左右导数也是相等 一定要发现连续这个性质 可导必连续 连续不一定可导 注意: 分段函数: 开区间直接求导 分段点处我们要用定义来求导
用定义证明
复合函数求导:
结论: 习题:
因此它在0处是不可导的
变式:
常用函数的阶导 莱布尼兹公式: 那么遇到一个高阶求导: 怎么判断U怎么判断V呢? 一般来说:U是比较好求导的那个 V是随着求导次方逐渐降低的 例子: 一般来说:U是比较好求导的那个 V是随着求导次方逐渐降低的 所以这里把可以降次数的x设置为v 因为lnx的n阶导容易求出来 因此把lnx设置为u 隐函数: 例题: 隐函数求导: 对方程两边分别进行求导运算 对数求导:
先对这个复杂的式子进行两边取对数 然后两边进行求导 参数函数求导: 例子: 注意: 这里的dy/dx是y与x的函数式分别进行求导然后进行比值 而不是下图所示 参数方程求二阶导: 一阶导再求一次导/x对t求一次导
P8
对于幂函数 我们取对数求导:
参数方程的一阶导等于:对y表达式进行求导再比上对x进行求导 二阶导:对一阶导表达式求导比上对x表达式进行求导 罗尔定理:
当出现表达式相减的时候 我们想着构造函数 利用拉格朗日中值定理
泰勒公式:
‘尽量背下来: 例子: 展开三阶泰勒公式 拉格朗日余项是四阶导数的 所以要多求一阶的导数 按照x-2展开之后 我们可以知道带入的是f(2) 求佩亚诺型余项是不需要求多一项的 展开到n阶的麦克劳林公式 麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况 当x0=0时进行的展开 那么e的x次方只要展开到n-1阶就可以了 麦克劳林公式的余项是佩亚诺型余项 罗尔定理:
柯西中值定理:
利用公式:间接法 洛必达:
这一种情况分子分母都趋近于无穷大 但是分子与分母都是震荡变化的 因此求导之后极限是不存在的 那么我们就采用抓大头的方法 找到变化速率最快的x 分子分母同时除以x得出结果
注意:
作图的步骤:
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