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第一章 函数与极限
1.1 函数及其性质
1.1.1 集合 集合:具有某种特定性质事物的全体称为集合。 元素:组成这个集合的事物称为该集合的元素。 集合与元素的关系:属于∈,不属于∉。 集合的表示方法:枚举法,描述法。 1.1.2 集合的运算 基本运算:并、交、差。 全集\基本集:研究的问题所限定的大集合。 余集\补集:I - A或者AC 。 运算规律:交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。 1.1.3 区间与领域 有限区间:开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。b-a:区间长度 无限区间:开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a] 邻域:以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域,记作U(x0)。若δ是某一正数,则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的一个邻域,记作U(x0,δ)。 去心邻域:将点x0去掉后的x0的邻域,记作U(x0,δ)。 左邻域:(x0-δ,x0) 右邻域:(x0,x0+δ) 1.1.4 映射 X,Y是两个非空集合,存在一个法则f,使得对X中的每个元素x,按法则f在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为X到Y的一个映射。 定义域D(f),值域R(f)或f(X)。 满射:R(f) = Y 单射:f(x1) ≠ f(x2) 一一映射:满射+单射 泛函、变换、函数 逆映射:g:R(f) -> X (f是单射,y = f(x),则 x = g(y)) 复合映射:g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。 1.1.5 函数 D是实数集,称f:D->R为定义在D上的函数。y = f(x),x∈D。y是因变量,x是自变量,D称为定义域。 1.1.6 函数的特性 (1)函数的有界性 X包含于D,若存在M使得f(x) D,称此映射为函数f的反函数。 若f是单调函数,则必存在反函数,且反函数也是单调函数。 y=f(u),D(f),R(f) u=g(x) D(g),R(g) R(g)包含于D(f),复合映射确定的函数为复合函数。 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数 幂函数、质数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切等。 1.2 数列的极限1.2.1 数列极限的定义 (1)数列的定义 对于每个n∈N+,按照某一法则,有唯一确定的实数xn与之对应,这些实数xn按照下标从小到大排序得到的序列:x1,x2,x3...,xn... (2)数列极限的定义 当n无限增大时,对应的xn无限接近于某个确定的常数a,则称数列{xn}收敛于a,否则称数列{xn}发散。 1.2.2 数列极限的性质 (1)极限的唯一性 (2)收敛数列的有界性:如果数列收敛,那么数列一定有界。 (3)收敛数列的保号性:如果数列收敛于a,且a>0(或a0,当n>N时,都有xn>0(xn < 0)。 (4)收敛数列与其子数列的关系:收敛数列的子数列也一定收敛,且极限相同。 1.3 函数的极限1.3.1 函数极限的定义 (1)自变量x的绝对值无限增大且趋于无穷大时函数的极限 对于任意给定的正数ε,总存在正数X,使得当x满足不等式|x| > X时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| x0或x->∞时的极限为零,那么称函数α(x)为x->x0或x->∞时的无穷小,或无穷小量。 f(x)的极限为A的充要条件是f(x) = A+α(x),其中α(x)为无穷小。 1.6.2 无穷大 当x->x0或x->∞时,对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大,那么称函数f(x)为当x->x0或x->∞时的无穷大,或无穷大量。 1.6.3 无穷小与无穷大 f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则1/f(x)为无穷大。 有限个无穷小的和是无穷小。 有限个无穷小的乘积是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小。 有限个无穷大的乘积是无穷大。 无穷大与有界量之和为无穷大。 1.6.4 无穷小的比较 β(x)、α(x)均为无穷小,α(x) ≠ 0,极限β(x) / α(x) 高阶无穷小:极限为0,记作β(x) = o(α(x)) 低阶无穷小:极限为∞ 同阶无穷小:极限为常数C(C≠0),记作β(x) = O(α(x)) k阶无穷小:α(x)^k(k>0为常数)极限为C≠0 等价无穷小:极限为1 无穷小等价替换原理 1.7 函数的连续性1.7.1 连续函数的定义 函数y = f(x)在x点x0的某一邻域内有定义,如果lim(x->x0)f(x) = f(x0),则称函数y = f(x)在点x0连续。 左连续、右连续的定义类似上面。 1.7.2 函数的间断点及其分类 y = f(x)如果不满足下列三个条件之一,则称函数y=f(x)在x0处不连续: (1)在x0处没有定义; (2)有定义但是极限不存在 (3)有定义,极限存在,但是不等于f(x0) 不连续的点x0称为不连续点或者间断点。 左右极限都存在的间断点称为第一类,不是第一类的间断点称为第二类。 可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。 1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 (1)和、差、积、商连续 (2)复合函数及反函数连续 1.7.4 区间上连续函数的性质 (1)有界性与最大值最小值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界。 (2)对于定义在区间I上的函数f(x),如果存在x0∈I,使得对于任一x∈I,有f(x) = f(x0),则称f(x0)为区间I上的最大值或最小值,称点x0是区间I上的最值点。 (3)闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值。 (4)零点定理与介值定理 如果点x0,使f(x0)=0,那么称x0为函数f(x)的零点。 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少存在一点x0,使得f(,0) = 0。 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)不相等,那么f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少存在一个点x0,使得f(x0) = C。 1.7.5 函数的一致连续性
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