从本节开始，我们将解析几何、向量空间、矩阵空间的一些共同性质作一个进一步的抽象，得到线性空间的概念。所谓线性空间，就是在一个集合上，定义了线性运算，从而形成线性空间。所谓线性运算，就是两类：加法和数域 K K K上的数乘。回顾解析几何、向量空间、矩阵空间的相关知识，在这些空间上，都定义了加法和数乘，并且加法和数乘都有类似的性质，即以下八条： A.加法交换律： a + b = b + a a+b=b+a a+b=b+a B.加法结合律： a + b + c = a + ( b + c ) a+b+c=a+(b+c) a+b+c=a+(b+c) C.存在零元： 0 + a = a 0+a=a 0+a=a D.存在相反元： a + ( − a ) = 0 a+(-a)=0 a+(−a)=0 E.数乘结合律： ( k l ) a = k ( l a ) (kl)a=k(la) (kl)a=k(la) F. 1. a = a 1.a =a 1.a=a G.数乘分配律1： ( k + l ) a = k a + l a (k+l)a=ka+la (k+l)a=ka+la H.数乘分配律2： k ( a + b ) = k a + k b k(a+b)=ka+kb k(a+b)=ka+kb 两个运算，加上以上八条运算性质，就形成了抽象的"线性空间"：

定义4.1 V V V是一集合， K K K是一数域，如果在 V V V上定义了一个二元运算" + + +"，满足： A.加法交换律： ∀ a , b ∈ V , a + b = b + a \forall a,b\in V,a+b=b+a ∀a,b∈V,a+b=b+a B.加法结合律： ∀ a , b , c ∈ V , a + b + c = a + ( b + c ) \forall a,b,c \in V, a+b+c=a+(b+c) ∀a,b,c∈V,a+b+c=a+(b+c) C.存在零元： ∃ 0 ∈ V , ∀ a ∈ V , 0 + a = a \exists 0 \in V,\forall a\in V,0+a=a ∃0∈V,∀a∈V,0+a=a D.存在相反元： ∀ a ∈ V , ∃ − a ∈ V , a + ( − a ) = 0 \forall a \in V,\exists -a \in V, a+(-a)=0 ∀a∈V,∃−a∈V,a+(−a)=0 又定义了 V V V和 K K K的运算 . . .，满足： E.数乘结合律： ∀ k , l ∈ K , ∀ a ∈ V , ( k l ) a = k ( l a ) \forall k,l \in K,\forall a \in V,(kl)a=k(la) ∀k,l∈K,∀a∈V,(kl)a=k(la) F. ∀ a ∈ V , 1. a = a \forall a \in V,1.a =a ∀a∈V,1.a=a G.数乘分配律1： ∀ k , l ∈ K , ∀ a ∈ V , ( k + l ) a = k a + l a \forall k,l \in K,\forall a \in V,(k+l)a=ka+la ∀k,l∈K,∀a∈V,(k+l)a=ka+la H.数乘分配律2： ∀ k ∈ K , ∀ a , b ∈ V , k ( a + b ) = k a + k b \forall k \in K,\forall a,b \in V,k(a+b)=ka+kb ∀k∈K,∀a,b∈V,k(a+b)=ka+kb 则称 V V V是数域 K K K上的线性空间

解析几何中的平面向量空间、空间向量空间、 K K K上的 n n n维向量空间， M m , n ( K ) M_{m,n}(K) Mm,n​(K)都是线性空间的典型代表。不仅如此，即便看起来与代数毫无关系的数学分析，也有大量线性空间的例子。例如：

例4.1 C [ a , b ] C[a,b] C[a,b]是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上全体连续函数构成的空间， C [ a , b ] C[a,b] C[a,b]是 R R R上的线性空间

可见，线性空间存在于世界各个角落，或者可以这么说：只要在一个集合中定义了加法和数乘运算，并且满足八条运算性质，这个集合就是一个"抽象化"的向量空间，集合中的元素，不过是"抽象化"后的点罢了。线性空间，从几何上去理解，就是"抽象化"的向量空间。以连续函数空间为例，从线性空间的角度上看，闭区间上的连续函数，不过是连续函数空间上一个个向量罢了，连续函数空间，不过是抽象的解析几何空间罢了。线性泛函分析，就是以这里为出发点的。认识到这点，对于理解后面许多定理和命题都很有帮助。 命题4.1 V V V是数域 K K K上的线性空间，则 (1)零元是唯一的 (2) ∀ a ∈ V \forall a \in V ∀a∈V，相反元 − a -a −a是唯一的 (3) ∀ a ∈ V , 0. a = 0 \forall a \in V,0.a=0 ∀a∈V,0.a=0 (4) ∀ a ∈ V , ( − 1 ) . a = − a \forall a \in V,(-1).a=-a ∀a∈V,(−1).a=−a

证： (1)假设 a , b a,b a,b都满足：对任意的 c ∈ V c\in V c∈V，都有 a + c = c a+c=c a+c=c b + c = c b+c=c b+c=c那么 a + b = b = b + a = a a+b=b=b+a=a a+b=b=b+a=a由于零元唯一，我们记零元为 0 0 0\ (2) ∀ a ∈ V \forall a \in V ∀a∈V，若 b , c b,c b,c都满足： a + b = 0 a+b=0 a+b=0 a + c = 0 a+c=0 a+c=0则 a + b + c = c = b + a + c = b + ( a + c ) = b + 0 = b a+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=b a+b+c=c=b+a+c=b+(a+c)=b+0=b从而相反元唯一，相反元记为 − a -a −a\ (3) a + 0. a = 1. a + 0. a = ( 1 + 0 ) a = 1. a = a a+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=a a+0.a=1.a+0.a=(1+0)a=1.a=a (4) ( − 1 ) . a + a = ( − 1 ) . a + 1. a = ( 1 + − 1 ) a = 0. a = 0 (-1).a+a=(-1).a+1.a=(1+-1)a=0.a=0 (−1).a+a=(−1).a+1.a=(1+−1)a=0.a=0

接下来，类似于向量空间，我们也可以给出线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组等概念。

定义4.2 V V V是 K K K上的线性空间， x 1 , ⋯   , x n x_1,\cdots,x_n x1​,⋯,xn​是 V V V的一个向量组， k 1 , ⋯   , k n k_1,\cdots,k_n k1​,⋯,kn​是 K K K上的 n n n个数，称 k 1 x 1 + ⋯ + k n x n k_1x_1+\cdots+k_nx_n k1​x1​+⋯+kn​xn​是 x 1 , ⋯   , x n x_1,\cdots,x_n x1​,⋯,xn​的一个线性组合， y ∈ V y\in V y∈V，存在 k 1 , ⋯   , k n ∈ K k_1,\cdots,k_n\in K k1​,⋯,kn​∈K，使得 y = k 1 x 1 + ⋯ + k n x n y=k_1x_1+\cdots+k_nx_n y=k1​x1​+⋯+kn​xn​则称 y y y能被 x 1 , ⋯   , x n x_1,\cdots,x_n x1​,⋯,xn​线性表示

定义4.3 V V V是 K K K上的线性空间，