高等代数7 线性变换

2024-07-13 11:59| 来源: 网络整理| 查看: 265

高等代数7 线性变换

目录高等代数7 线性变换线性变换的定义线性变换的运算乘法加法数量乘法逆变换多项式线性变换的矩阵线性变换$\mathscr{A}$在下基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$的矩阵线性变换的矩阵计算向量的像线性变换的矩阵与基的关系相似特征值与特征向量定义寻找特征值和特征向量的方法特征子空间特征多项式对角矩阵线性变换的值域与核不变子空间若尔当标准形

线性变换的定义

线性空间$V$到自身的映射通常称为$V$的一个变换。

定义

线性空间$V$的一个变换$\mathscr{A}$称为线性变换，如果对于$V$中任意的元素$\alpha,\beta$和数域$P$中的任意数$k$都有

\[\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}(\beta) \\ \mathscr{A}(k\alpha)+k\mathscr{A}(\alpha) \]

线性变换$\mathscr{A}$保持向量的加法和数量乘法。

恒等变换、单位变换 $\mathscr{E}(\alpha)=\alpha \ \ (\alpha \in V)$

零变换$\mathscr{0}$ $\mathscr{0}(\alpha)=0 \ \ (\alpha \in V)$

数乘变换设$V$是数域$P$上的线性空间，$k$是数域$P$上的某个数，定义$V$的变换：$\alpha \rightarrow k\alpha, \ \ \alpha\in V$

这是一个线性变换，称为由数$k$决定的数乘变换。

简单性质

线性空间$V$的一个线性变换$\mathscr{A}$，则$\mathscr{A}(0)=0,\mathscr{A}(-a)=-\mathscr{A}(a)$

线性变换保持线性组合不变

\[\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r \\ \mathscr{A}(\beta)=k_1\mathscr{A}(\alpha_1)+k_2\mathscr{A}(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathscr{A}(\alpha_r) \\ \]

线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

线性变换的运算

线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法运算

乘法

设$\mathscr{A},\mathscr{B}$是线性空间$V$上的两个线性变换，它们的乘积$\mathscr{A}\mathscr{B}$为$(\mathscr{A}\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha)) \ \ \ (\alpha \in V)$

线性变换的乘积也是线性变换。

适合结合律 $(\mathscr{A}\mathscr{B})\mathscr{C}=\mathscr{A}(\mathscr{B}\mathscr{C})$ 一般是不可交换的单位变换$\mathscr{E}$ $\mathscr{E}\mathscr{A}=\mathscr{A}\mathscr{E}=\mathscr{A}$ 加法

设$\mathscr{A},\mathscr{B}$是线性空间$V$上的两个线性变换，它们的和$\mathscr{A}+\mathscr{B}$为$(\mathscr{A}+\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{B}(\alpha) \ \ \ (\alpha \in V)$

线性变换的和还是线性变换

交换律 $\mathscr{A}+\mathscr{B}=\mathscr{B}+\mathscr{A}$ 结合律 $(\mathscr{A}+\mathscr{B})+\mathscr{C}=\mathscr{A}+(\mathscr{B}+\mathscr{C})$ 零变换$\mathscr{0}$ $\mathscr{A}+\mathscr{0}=\mathscr{A}$ 负变换 $\mathscr{A}+(-\mathscr{A})=\mathscr{0}$ .负变换也是线性的。

线性变换乘法对加法具有左右分配律

$\mathscr{A}(\mathscr{B}+\mathscr{C})=\mathscr{A}\mathscr{B}+\mathscr{A}\mathscr{C}$

$(\mathscr{B}+\mathscr{C})\mathscr{A}=\mathscr{B}\mathscr{A}+\mathscr{C}\mathscr{A}$

数量乘法数域$P$中的数与线性变换的数量乘法为 $k\mathscr{A}=\mathscr{K}\mathscr{A}$ $(kl)\mathscr{A}=k(l\mathscr{A})$ $(k+l)\mathscr{A}=k\mathscr{A}+l\mathscr{A}$ $k(\mathscr{A}+\mathscr{B})=k\mathscr{A}+k\mathscr{B}$ $1\mathscr{A}=\mathscr{A}$

线性空间$V$上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域$P$上的一个线性空间

逆变换

$V$上的变换$\mathscr{A}$称为可逆的，如果有$V$的变换$\mathscr{B}$存在，使 $\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}=\mathscr{E}$

这时，变换$\mathscr{A}$称为$\mathscr{A}$的逆变换，称为$\mathscr{A}^{-1}$

如果线性变换$\mathscr{A}$是可逆的，那么它的逆变换$\mathscr{A}^{-1}$也是线性变换。

多项式

幂

$\mathscr{A}^n=\mathscr{A}\mathscr{A}\cdots\mathscr{A}(n个)$，$\mathscr{A}^n$称为$\mathscr{A}$的$n$次幂

$\mathscr{A}^0=\mathscr{A}$

指数法则 $\mathscr{A}^{n+m}=\mathscr{A}^n\mathscr{A}^m \\ (\mathscr{A}^m)^n=\mathscr{A}^mn$

注意一般来说， $(\mathscr{A}\mathscr{B})^n \neq \mathscr{A}^n \mathscr{B}^n$

多项式

设 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0x^0$是$P[x]$中的一个多项式， $\mathscr{A}$是$V$的一线性变换

$f(\mathscr{A})=a_m\mathscr{A}^m+a_{m-1}\mathscr{A}^{m-1}+\cdots+a_0\mathscr{A}^0$是一线性变换，它称为线性变换$\mathscr{A}$的多项式。

如果在$P[x]$中，$h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)$，那么$h(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})+g(\mathscr{A}),p(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})$ 可交换 $f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})=g(\mathscr{A})f(\mathscr{A})$ 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。线性变换的矩阵

线性变换$\mathscr{A}$在下基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$的矩阵

设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是线性空间$V$的一组基。

如果线性变换$\mathscr{A}$与$\mathscr{B}$在这组基上的作用相同，即$\mathscr{A}\varepsilon_i=\mathscr{B}\varepsilon_i,\ \ i=1,2,\cdots,n$ 那么$\mathscr{A}=\mathscr{B}$。

意义：一个线性变换完全被它在一组基上的作用决定

设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是线性空间$V$的一组基。

对于任意一组向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，一定有一个线性变换$\mathscr{A}$使$\mathscr{A}\varepsilon_i=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n$

意义：基向量的像完全可以是任意的

定理

设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是线性空间$V$的一组基，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$中的任意$n$个向量。

存在唯一的线性变换$\mathscr{A}$使$\mathscr{A}\varepsilon_i=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n$

定义

设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是数域$P$上$n$维线性空间$V$的一组基，$\mathscr{A}$是$V$的一个线性变换。

基向量的像可以被基线性表出：

\[\begin{cases} \mathscr{A}\varepsilon_1=a_{11}\varepsilon_1 +a_{12}\varepsilon_2+\cdots +a_{1n}\varepsilon_n \\ \mathscr{A}\varepsilon_2=a_{21}\varepsilon_1 +a_{22}\varepsilon_2+\cdots +a_{2n}\varepsilon_n \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \mathscr{A}\varepsilon_n=a_{n1}\varepsilon_1 +a_{n2}\varepsilon_2+\cdots +a_{nn}\varepsilon_n \\ \end{cases} \\ \mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) =(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n) =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \\ A= \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \]

其中$A$称为线性变换$\mathscr{A}$在下基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$的矩阵

在取定一组基后，我们就建立了由数域$P$上的$n$维线性空间$V$的线性变换到数域$P$上的$n \times n$矩阵的一个映射，1说明这个映射是单射，2说明是满射，因此这个映射是一一对应的（双射）。

定理

设$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是数域$P$上$n$维线性空间$V$的一组基，在这组基下，每个线性变换按着公式(3)对应一个$n \times n$矩阵。这个对应具有以下性质：

线性变换的和对应矩阵的和；线性变换的乘积对应矩阵的乘积；线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积；可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

定理说明，数域$P$上$n$维线性空间$V$的全部线性变换构成的集合$L(V)$对于线性变换的加法与数量乘法构成$P$上一个线性空间，与数域$P$上$n$级方阵构成的线性空间$P^{n \times n}$同构。

线性变换的矩阵计算向量的像

定理

设线性变换$\mathscr{A}$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$下的矩阵是$A$，向量$\xi$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$下的坐标是$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，

则$\mathscr{A}\xi$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$下的坐标$(y_1，y_2,\cdots,y_n)$可以按公式

\[\left ( \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{matrix} \right ) =A \left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) \]

计算。

线性变换的矩阵与基的关系

定理

线性空间$V$的线性变换$\mathscr{A}$在两组基

\[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n \\ \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n \]

下的矩阵分别是$A,B$，从基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的过渡矩阵是$X$，于是$B=X^{-1}AX$.

这个定理告诉我们，同一个线性变换$\mathscr{A}$在不同基下的矩阵之间的关系。

相似

定义相似

设$A、B$是数域$P$上两个$n$级矩阵，如果可以找到数域$P$上的$n$级可逆矩阵$X$，使得$B=X^{-1}AX$，就说$A$相似于$B$，记作$A \sim B$

性质

自反性 $A\sim A$ 对称性 $A \sim B ,B \sim A$ 传递性 $A \sim B ,B \sim C$，则$A \sim C$

定理

线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的。

如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

运算性质

如果$B_1=X^{-1}A_1X,B_2=X^{-1}A_2X$，那么

$B_1+B_2=X^{-1}(A_1+A_2)X$ $B_1B_2=X^{-1}(A_1A_2)X$ 若$f(x)$是数域$P$上一多项式 $f(B)=X^{-1}f(A)X$ 特征值与特征向量定义

适当选择一组基后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式

定义特征值、特征向量

设$\mathscr{A}$数域$P$上$n$维线性空间$V$的一个线性变换，如果对于数域$P$中一数$\lambda_0$，存在一个非零向量$\xi$，使得

\[\mathscr{A}\xi= \lambda_0\xi \]

那么$\lambda_0$称为$\mathscr{A}$的一个特征值，而$\xi$称为$\mathscr{A}$的属于特征值$\lambda_0$的一个特征向量。

特征值是被特征向量唯一决定的，一个特征向量只能属于一个特征值。

寻找特征值和特征向量的方法

定义特征多项式

设$A$是数域$P$上一$n$级矩阵，$\lambda$是一个文字。

矩阵$\lambda E-A$的行列式

\[|\lambda E-A| =\left | \begin{matrix} \lambda-a_{11} &- a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ - a_{s1} & -a_{s2} & \cdots & \lambda-a_{sn} \\ \end{matrix} \right | \]

称为$A$的特征多项式。

这是数域$P$上的一个$n$次多项式。

求特征值$\lambda_0$与特征向量$\xi$

取一组基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$,写$\mathscr{A}$在这组基下的矩阵$A$;

求出特征多项式$|\lambda E-A|$的根$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，（$\lambda$是线性变换$\mathscr{A}$的全部特征值）；

将特征值带入方程组

\[(\lambda_i E-A)\left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right )=0 \\ \begin{cases} (\lambda_0 -a_{11})x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1 +(\lambda_0-a_{22})x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\cdots +(\lambda_0-a_{nn})x_n=0 \\ \end{cases} \]

解得基础解系$(x_1,x_2,\cdots,x_n)_i$。（也就是特征向量$\xi_i$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$下的坐标）

$\xi_i=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

特征子空间

定义

线性变换$\mathscr{A}$的任一个特征值$\lambda_0$，全部适合条件 $\mathscr{A}\alpha=\lambda_0 \alpha$的向量$\alpha$所组成的集合，也就是$\mathscr{A}$的属于$\lambda_0$的全部特征向量再添上零向量组成的集合，是$V$的一个子空间，称为$\mathscr{A}$的一个特征子空间，记作$V_{\lambda_0}$.

$V_{\lambda_0}$的维数就是属于$\lambda_0$的线性无关的特征向量的最大个数。

用集合表示可写为$V_{\lambda_0}=\{\alpha|\mathscr{A}\alpha=\lambda_0 \alpha ,\alpha \in V\}$

特征多项式

迹 $A$的全体特征值的和为$a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$，称为$A$的迹，记为$Tr(A)$。

积 $A$的全体特征值的积为$|A|$。

定理相似的矩阵有相同的特征多项式。

线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，直接被线性变换决定，特征多项式可以称为线性变换的多项式

哈密顿—凯莱定理

设$A$是数域$P$上一个$n \times n$矩阵，$f(\lambda)=|\lambda E-A|$是$A$的特征多项式，则

\[f(A)=A^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})A^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|E =O \]

对角矩阵

哪一些线性变换在一组恰当的基下可以是对角矩阵

定理

设$\mathscr{A}$是$n$维线性空间$V$的一个线性变换，$\mathscr{A}$的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是,$\mathscr{A}$有$n$个线性相关的特征向量。

定理

属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

推论1

如果在$n$维线性空间$V$中，线性变换$\mathscr{A}$的特征多项式在数域$P$中有$n$个不同的根，即$\mathscr{A}$有$n$个不同的特征值，那么$\mathscr{A}$在某组基下的矩阵是对角形的。

推论2

在复数域上的线性空间中，如果线性变换$\mathscr{A}$的特征值多项式没有重根，那么$\mathscr{A}$在某组基下的矩阵是对角形的。

定理

如果$\lambda_1.\cdots,\lambda_k$是线性变换$\mathscr{A}$的不同的特征值，而$\alpha_{i1},\cdots,\alpha_{ir_i}$是属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量，$i=1,\cdots,k$，那么向量组$\alpha_{11},\cdots,\alpha_{1r_1},\cdots,\alpha_{k1},\cdots,\alpha_{kr_k}$也线性无关。

设$\mathscr{A}$在某一组基下的矩阵成对角形的充分必要条件是$\mathscr{A}$的特征子空间$V_{\lambda_1},\cdots,V_{\lambda_r}$的维数之和等于空间的维数。

如果线性变换$\mathscr{A}$在一组基下的矩阵是对角形的，那么主对角矩阵上的元素除排列次序以外是确定的，它们正是$A$的特征多项式全部的根（重根按重数计算）。

线性变换的值域与核

定义值域核

设$\mathscr{A}$是线性空间$V$的一个线性变换，$\mathscr{A}$的全体像组成的集合称为$\mathscr{A}$的值域，用$\mathscr{A}V$表示

所有被$\mathscr{A}$变成零向量的向量组成的集合称为$\mathscr{A}$的核，用$\mathscr{A}^{-1}(0)$表示。

$\mathscr{A}V$的维数称为$\mathscr{A}$的秩

$\mathscr{A}^{-1}(0)$的维数称为$\mathscr{A}$的零度。

定理

设$\mathscr{A}$是$n$维线性空间$V$的线性变换，$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$是$V$的一组基，在这组基下$\mathscr{A}$的矩阵是$A$,则

$\mathscr{A}$的值域$\mathscr{A}V$是由基像组成的子空间，即$\mathscr{A}V=L(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_)$； $\mathscr{A}$的秩= $A$的秩

定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变。

定理

设$\mathscr{A}$是$n$维线性空间$V$的线性变换，则$\mathscr{A}V$的一组基的原像及$\mathscr{A}^{-1}(0)$的一组基合起来就是$V$的一组基，

由此还有 $\mathscr{A}的秩+\mathscr{A}的零度=n$

推论

对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必要条件为它是满射。

不变子空间

线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系

定义不变子空间

设$\mathscr{A}$是数域$P$上线性空间$V$的线性变换，$W$是$V$的子空间。

如果$W$的向量在$\mathscr{A}$下的像仍在$W$中，换句话说，对于$W$中任一向量$\xi$，有$\mathscr{A}\xi \in W$，

我们称$ W$是$\mathscr{A}$的**不变子空间**，简称$\mathscr{A}$-子空间。

矩阵分解为准对角形矩阵与空间分解为不变子空间的直和是相当的。

定理

设线性变换$\mathscr{A}$的特征多项式为$f(\lambda)$，它可分解为一次因式的乘积

$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots=(\lambda-\lambda_s)^{r_s}$

则$V$可以分解成不变子空间的直和

$V=V_1\oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s，V_i=\{ \xi |(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi \in V\}$

定义

在上式，我们称$V_i=\{ \xi |(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi \in V\}$为$\mathscr{A}$的属于特征值$\lambda_i$的根子空间，常记为$V^{\lambda_i}$

若尔当标准形

复数域中的矩阵一定与一个若尔当标准形相似。

定义若尔当块若尔当矩阵

形式为

\[J(\lambda_0,k)= \left ( \begin{matrix} \lambda_0 & 0 &0 & \cdots & 0 &0 &0 \\ 1 & \lambda_0 &0 & \cdots & 0 &0 &0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots &\vdots &\vdots\\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 &\lambda_0 &0 \\ 0 & 0 &0 & \cdots & 0 &1 &\lambda_0 \end{matrix} \right )_{k \times k} \]

的矩阵称为一个若尔当块，其中$\lambda_0$是复数。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵

\[A= \left ( \begin{matrix} J(\lambda_1,k_1) & & & \\ & J(\lambda_2,k_2) & & \\ & &\ddots & \\ & & & J(\lambda_s,k_s) \\ \end{matrix} \right ) \]

称为一个若尔当形矩阵，其中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$为复数，有一些可以相同。

定理

设$\mathscr{A}$是复数域上$n$维线性空间$V$的一个线性变换，则$V$中一定存在一组基，$\mathscr{A}$在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵并且这个若尔当形矩阵出去其中的若尔当块的排列顺序外，由$\mathscr{A}$唯一决定，它称为$\mathscr{A}$的矩阵的若尔当标准形。

推论

每个$n$级复矩阵$A$一定与一个若尔当矩阵相似。这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外由$A$唯一决定，称为$A$的若尔当标准形。

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