所谓指对互化，如下示例：

x = e ln ⁡ x = ln ⁡ ( e x ) x=e^{\ln x}=\ln(e^x) x=elnx=ln(ex)，

x 2 e x = e 2 ln ⁡ x ⋅ e x = e 2 ln ⁡ x + x ≥ 2 ln ⁡ x + x + 1 x^2e^x=e^{2\ln x}\cdot e^x=e^{2\ln x+x}\geq 2\ln x+x+1 x2ex=e2lnx⋅ex=e2lnx+x≥2lnx+x+1

指对互化是指对同构是前置知识。 需要指对同构的题目的显著特征是跨阶，即：既有指数又有对数。

如： a e a < b ln ⁡ b ae^amx−3ex在 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x∈(0,+∞)恒成立，求实数 m m m的取值范围.

等价于： m ln ⁡ ( x + 1 ) − 3 ( x + 1 ) > m x − 3 e x m\ln(x+1)-3(x+1)> mx-3e^x mln(x+1)−3(x+1)>mx−3ex 构造函数 g ( x ) = m ln ⁡ x − 3 x g(x)=m\ln x-3x g(x)=mlnx−3x

等价于： g ( x + 1 ) > g ( e x ) g(x+1)>g(e^x) g(x+1)>g(ex)恒成立，而 e x > x + 1 > 1 ( x > 0 ) e^x > x +1>1(x>0) ex>x+1>1(x>0)

且 g ( 0 + 1 ) = g ( e 0 ) g(0+1)=g(e^0) g(0+1)=g(e0)

只需要 g ( x ) g(x) g(x)在 ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) (1,+∞)严格单调递减即可，即： g ′ ( x ) = m x − 3 = m − 3 x x < 0 g'(x)=\frac m x-3=\frac {m-3x}{x}\log_ax ax>loga​x对于 ∀ x > 0 \forall x>0 ∀x>0恒成立，求 a a a范围.

e x ln ⁡ a > ln ⁡ x ln ⁡ a ⇔ ( x ln ⁡ a ) e x ln ⁡ a > x ln ⁡ x e^{x\ln a}>\frac{\ln x}{\ln a}\Leftrightarrow (x\ln a)e^{x\ln a}>x\ln x exlna>lnalnx​⇔(xlna)exlna>xlnx

构造函数 f ( x ) = x ln ⁡ x f(x)=x\ln x f(x)=xlnx，在 x > 0 x>0 x>0时递增，于是只需要： e x ln ⁡ a > x ⇔ x ln ⁡ a > ln ⁡ x e^{x\ln a}>x\Leftrightarrow x\ln a>\ln x exlna>x⇔xlna>lnx 构造函数 g ( x ) = ln ⁡ x x g(x)=\frac{\ln x}{x} g(x)=xlnx​即可，得到： ln ⁡ a > ( ln ⁡ x x ) max ⁡ = 1 e ⇒ a > e 1 e \ln a>(\frac{\ln x}{x})_{\max}=\frac{1}{e}\Rightarrow a>e^{\frac 1 e} lna>(xlnx​)max​=e1​⇒a>ee1​ [反函数法] 考虑到 a x a^x ax和 log ⁡ a x \log _ax loga​x是反函数，只需要满足： a x > x a^x>x ax>x 即可，取对数得： x ln ⁡ a > ln ⁡ x x\ln a>\ln x xlna>lnx 其余同上，略。