小伙伴：“雪球，你又水Trivial的文章了！”实验室内外充满了快活的空气。

玩笑归玩笑，但是不得不说反三角函数一直是很多人的重灾区。高中不学，大学讲高数又默认你会，理工领域也经常用，公式不熟练很容易出问题。但是，市面上大部分教科书很少有相关的公式备注，很多人又懒于自己推导，在收到很多小伙伴关于这方面计算化简的问题来信之后，雪球决定帮你们把这些公式搬运过来。都是很简单的东西，证明可以自己玩一玩，做题时候忘了，也可以看看这个文章查着用。

反三角函数的的相互关系

\begin{align} \arcsin x&=-\arcsin(-x)\\ &=\frac\pi 2-\arccos x\\&=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\&=\arccos\sqrt{1-x^2} \\ &=\operatorname{arccot}\frac{\sqrt{1-x^2}}x \end{align}\tag 1

最后两个等号只在 x>0 时成立，下同

\begin{align} \arccos x&=\pi-\arccos(-x)\\ &=\frac\pi 2-\arcsin x\\ &=\operatorname{arccot}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arcsin\sqrt{1-x^2}\\ &=\arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}x \end{align}\tag2

\begin{align} \arctan x&=-\arctan(-x)\\ &=\frac\pi 2-\operatorname{arccot}x\\ &=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ &=\arccos\frac 1{\sqrt{1+x^2}}\\ &=\operatorname{arccot}\frac 1x \end{align}\tag 3

\begin{align} \operatorname{arccot}x&=\pi-\operatorname{arccot}(-x)\\&=\frac\pi2-\arctan x\\&=\arccos \frac x{\sqrt{1+x^2}}\\&=\arcsin\frac1{\sqrt{1+x^2}}\\&=\arctan\frac 1x\\ \end{align}\tag 4

反三角函数的和差

反正弦：\begin{align} \arcsin x+\arcsin y&=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\quad(xy\le0\quad or\quad x^2+y^2\le1)\\ &=\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\quad(x>0,y>0,x^2+y^2>1)\\ &=-\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\quad(x\begin{align} \arcsin x-\arcsin y&=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})\quad(xy\ge0\quad or\quad x^2+y^2\le1)\\ &=\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})\quad(x>0,y1)\\ &=-\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})\quad(x0,x^2+y^2>1)\\ \end{align}\tag6

反余弦：

\begin{align} \arccos x+\arccos y&=\arccos[xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2})]\quad(x+y\ge0)\\ &=2\pi-\arccos[xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2})]\quad(x+y\begin{align} \arctan x+\arctan y&=\arctan\frac{x+y}{1-xy}\quad(xy0,xy>1)\\ &=-\pi+\arctan\frac{x+y}{1-xy}\quad(x1)\\ \end{align}\tag9

\begin{align} \arctan x-\arctan y&=\arctan\frac{x-y}{1+xy}\quad(xy>-1)\\ &=\pi+\arctan\frac{x-y}{1+xy}\quad(x>0,xy