提前声明，文末链接的另一篇文章有更精细的估值方法，本文方法可以较短时间内(比如考试中)估出近似值，略有误差。

某天我看到某个问题是求证ln10＞2.1，那么我们就以ln10为例尝试估值

我们都知道lnx≥1–1/x

图里最右端的不等式其实已经适合估高中内的一切对数值了，不过并不是直接把数代入

从图里我们可发现，ln(x+1)与2x/(x+2)在x趋于0处是近似等价的，我们只需把10逐渐变成一个趋于1的数就可以放缩了

我们开始吧

△x为9.99与10的差值，1/10为x=10处的切线斜率，这样我们能保留更高的精度。接下来就是估那两个对数值了

对于ln(x+1)与2x/(x+2)，x=0.1时，二者差值为0.00007，也就是说我们对于ln(1+x)估值，只需x在±0.2之间就足够精度了。

我们先估ln1.11，ln1.11≈2·0.11/(2+0.11)=0.1043

再估，ln3=ln2+ln1.5，

建议看上面这个，易于理解

这是手动开方的方法，假如你不会手动开方可以看看这篇文章。以下所有开根号我们都取三位，这是在保证精度和运算简单的前提下的最好选择。

由ln(x+1)>2x/(x+2)可知，我们估算值会比实际值低一些，为了增加精度且计算方便，我们对√1.5取前三位为1.224，为了减小误差我们取1.225。√1.225手动开方取前三位得1.106，我们取1.107。

同样道理我们可对ln2估值。√2手动开方为1.414取1.415，√1.415取前三位为1.189，取1.19，0.19可以进行估算了

算到1.19时千万别觉得你还能再开方运算，那样并不会变精细，首先你不断开根号得到的结果的误差我们并不知道是变大还是变小，就算变小也不会小太多，比如你开6次根号，那么你得到的数参与放缩后还要乘以64，误差被大幅放大，千万别接着开，只会误差越来越大。

至此，我们可以得到ln10=2ln2+2ln1.5+ln1.11+△y

≈2·0.69406+2·0.40626+0.1043+0.001 =2.30594

事实上，我们若是能背下来ln2与ln3就可以快速得到近似结果且精度大幅提高

取0.6931

取1.098，以ln2，ln3做基数，我们可估任意对数(高精度)

更可轻松的把上述的ln10以更快速度，更高精度完美估算出来。

附后文链接：

ps：估值可以通过简单化简后用高阶帕得逼近可瞬间计算出超高精度数值

有时间我会接着补充其它比如指数等的估值