从二项分布到泊松分布:两个公式的推导及Python实现 |
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从二项分布到泊松分布:两个公式的推导及Python实现 在概率统计中,二项分布和泊松分布是两种常用的概率分布。本文将介绍如何从二项分布推导出泊松分布,并给出两个重要公式的证明及Python实现。 一、二项分布的定义及公式 在n次独立重复试验中,成功事件发生的概率为p,失败事件发生的概率为1-p,则在n次试验中成功k次的概率为: P(X=k)=C(n,k)*pk*(1-p)(n-k) 其中,C(n,k)为组合数: C(n,k)=n!/k!(n-k)! 二、证明一:当n充分大、p充分小,二项分布逼近于泊松分布 假设λ=np,当n充分大,p充分小时,有: lim(C(n,k)pk*(1-p)(n-k))=(lim(C(n,k)/k!))(lim(pk))*(lim((1-p)(n-k))) =(lim(n*(n-1)…(n-k+1)/k!/nk))*(lim(np)k)(lim((1-p)^n)) =((lim(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n))/k!)(lim(np)k)*(lim((1-p)n)) =(lim(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n))(lim(np)k)*(lim((1-p)n)) =lim(1)(lim(np)k)*(lim((1-p)n)) =(lim(np)k)*(lim((1-p)n)) =(limi |
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