老司机解读香农定理、奈奎斯特定理、编码与调制

早在

1924

年，

AT&T

的工程师奈奎斯特（

Henry 

Nyquist

）就认

识到在任何信道中，码元传输的速率都是有上限的，并推导出一个计

算公式，用来推算无噪声的、有限带宽信道的最大数据传输速率，这

就是

今天的奈奎斯特定理。由于这个定理只局限在无噪声的环境下计

算信道最大数据传输速率，而在有噪声的环境下仍然不能有效计算出

信道最大数据传输速率，因此在

 1948

年，香农（

Claude Shannon

）

把奈奎斯特的工作进一步扩展到了信道受到随机噪声干扰的情况，即

在有随机噪声干扰的情况计算信道最大数据传输速率，这就是今天的

香农定理。下面分别介绍这两个定理。

一、奈奎斯特定理

奈奎斯特证明，对于一个带宽为

W

赫兹的理想信道，其最大码元

（信号）速率为

2W

波特。这一限制是由于存在码间干扰。如果被传

输的信号包含了

M

个状态值（信号的状态数是

M

），那么

W

赫兹信

道所能承载的最大数据传输速率（信道容量）是：

C =2×W×log2M（

bps

）

假设带宽为

W

赫兹信道中传输的信号是二进制信号（即信道中只

有两种物理信号），那么该信号所能承载的最大数据传输速率是

2Wbps

。例如，使用

带宽为

3KHz

的话音信道通过调制解调器来传输

数字数据，根据奈奎斯特定理，发送端每秒最多只能发送

2×3000

个

码元。如果信号的状态数为

2

，则每个信

号可以携带

1

个比特信息，

那么话音信道的最大数据传输速率是

6Kbps

；如果信号的状态数是

4

，

则每个信号可以携带

2

个比特信息，那么话音信道的最大数据

传输速

率是

12Kbps

。

因此对于给定的信道带宽，可以通过增加不同信号单元的个数来

提高数据传输速率。然而这样会增加接收端的负担，因为，接收端每

接收一个码元，它不再只是从两个可能的信号取值中区分一个，而是

必须从

M

个可能的信号中区分一个。传输介质上的噪声将会限制

M

的

实际取值。