针对垂直导航模式下的飞机爬升性能参数计算需要，研究建立了爬升过程中的飞行动力学方程、垂直导航（VNAV）模式下的爬升过程所需推力计算方法，包括固定爬升角爬升和固定爬升率爬升；然后建立了不同爬升模式下的离场过程中爬升性能参数计算方法；之后以某型国产民机的基础性能数据为例，对VNAV爬升和常规爬升模式下的性能参数进行计算分析，对比分析了固定爬升角爬升、固定爬升率爬升与传统爬升之间的差异性。研究表明，在VNAV爬升过程中，由于所需推力小于最大爬升推力，使得飞机达到目标高度所需时间、爬升水平距离、油量消耗要大于常规爬升；当爬升角/爬升率增加到一定值时，所需推力受限于最大爬升推力，此时等同于常规爬升。在飞行计划制作、离场航迹优化等研究中，需要按照VNAV模式来计算飞机的爬升性能参数，以更好的贴合飞机实际飞行情况。

In order to meet the needs of studying the actual flight route of vertical navigation, the dynamic equation of the climb process was established, and the calculation method of the VNAV departure performance parameters was constructed. And taking the data of a certain domestic civil aircraft model as an example, the differences between VNAV climb and traditional climb were compared and analyzed. The research has shown that in the process of vertical navigation climb, because the required thrust is less than the maximum climb thrust, the time required for the aircraft to reach the target altitude, the horizontal distance of the climbing, and the fuel consumption are greater than those of conventional climbs; when the climb angle/rate of climb increases to a certain value, the required thrust is limited by the maximum climb thrust, which is equivalent to a conventional climb. In the research of flight plan preparation and departure trajectory optimization, it is necessary to consider the difference between VNAV climb and traditional climb to improve the accuracy and effectiveness of prediction.

飞机性能 ； 垂直导航 ； 爬升性能 ； 爬升策略 ； 爬升梯度

aircraft performance ； vertical navigation ； climb performance ； climb strategy ； climb gradient

垂直导航（vertical navigation，简称VNAV）是飞行管理系统的重要功能之一，也是在实际飞行中常用的飞行方式[1]，但国外航电厂家并未公布VNAV飞行方式下的性能参数优化计算逻辑与技术细节。

国内外研究人员在爬升性能参数优化计算方面开展了大量研究。Prats等提出了一种基于动态轨迹优化算法的最优离场轨迹确定方法[2]；Ho-Huu等以累计噪声和燃油消耗为目标，对飞机离场剖面进行优化[3]；Ghazi等详细分析了塞斯纳X飞机的起飞和离场轨迹中地面加速、抬轮、过渡、匀速爬升和加速爬升段的计算方法[4]；Mendoza等考虑了爬升、巡航和下降的成本，并对飞行速度进行了分段优化[5]；Hartjes等提出了新的参数化方法，对垂直离场爬升轨迹进行计算[6]。魏志强等基于常规爬升方式提出了变速的最佳爬升策略并可通过遗传算法得到最佳爬升策略[7]；吕开妮等综合考虑了时间和燃油消耗指标对爬升轨迹进行优化，但爬升模型相对有限[8]；许跃凤等研究了CCO离场程序对噪声的影响[9]；刘雪涛等对比了不同爬升方式的差异性，得到最经济的爬升方式[10]；董新民等研究了等表速等推力、等表速等梯度、等表速等升降速度3种典型爬升方式[11]；陈娅莉等采用格点搜寻算法求解飞机最短时间爬升轨迹[12]。上述研究都是假定飞机发动机处于最大爬升推力状态下来开展的，没有考虑VNAV模式对爬升性能参数计算的特殊要求。

针对VNAV模式下的离场爬升性能参数计算需要，首先研究建立了爬升过程动力学方程，然后构建了VNAV爬升与常规爬升的离场性能参数计算方法和计算流程，以某国产民机机型数据为例进行计算，对比分析了VNAV爬升与常规爬升之间的差异性。

传统的爬升性能计算是飞机采用最大爬升推力、按照等表速或等马赫数进行爬升。但在实际飞行中，当由于空中交通管制要求而进行高度层变更时，通常采用固定爬升率的爬升方式；当沿着机场设计的连续爬升运行（CDO）程序离场时，部分程序段上由于飞行冲突调配需要会要求飞机按照固定爬升梯度角飞行。上述两种方式即为VNAV中常见的爬升方式。

在爬升过程中，飞机动力学方程可以表示为：

式中：T为发动机推力；D为空气阻力；m为飞机质量；h为飞行高度；g为重力加速度； VT为真空速；t为时间；d为导数符号。将式（1）变形后，可进一步推导出：

式中：VV为垂直速度，也就是爬升率。对于固定爬升角θ爬升（也就是给定爬升梯度爬升），性能参数计算如下：

式中：γg为爬升梯度；Ta为发动机可用推力，即飞机的最大爬升推力，通过查飞机基础性能数据表获得；facc为加速因子。

将每一步的爬升梯度、爬升率和真空速进行累加，即可积分得到飞机的爬升时间、水平距离、高度、油耗等参数。

对于等爬升率（VV）爬升，则有：

根据式（2），定义加速因子facc为：

当飞机保持等表速爬升，且飞行高度超过对流层顶部时，加速因子计算公式如下：

式中：γ为空气的等熵膨胀系数，取值1.4；M为马赫数。当飞机保持等表速爬升，且飞行高度低于对流层顶部时，加速因子的计算公式为：

当飞机保持等马赫数爬升，且飞行高度超过对流层顶部时，加速因子计算公式如下：

当飞机保持等马赫数爬升，且飞行高度低于对流层顶部时，加速因子的计算公式为：

式中：R为气体常数，取值287.05 J/（kg·K）；KT为标准大气温度梯度，取值-0.006 5℃/m。

爬升性能参数的积分计算需要用到机型基础性能数据表，主要包括极曲线数据、可用推力数据、发动机油耗数据等，具体的相互调用关系如图1所示。

图1 基础性能数据表加载功能设计

数据加载的基本实现思路如下：

1）软件启动时，首先读取数据管理表，获取各个数据表的基本信息，包括表格名称、文件路径、维数、插值方法等，然后读取机型基本参数。

2）一组数据表的读取。针对多个数据表变量存储在同一张表的情况，首先确定需要一次性读取的列号集合，然后将这些数据读取到中间变量里，再根据各个数据表变量的需要，对其进行赋值。

3）通过设计功能函数，以及对数据表函数的调用，可以实现数据加载、排序、统计、查询、插值计算等功能。

经济爬升速度是常用的爬升速度优化计算方式，也是VNAV爬升模式下的爬升性能参数计算基础。选择不同的飞行方式可以节省燃油或时间，而经济性是飞行中需要考虑的重要因素。航空公司与飞行有关的航班成本由时间成本和燃油成本组成，即：

式中：C为飞行成本，￥；Ct为时间成本，￥/min；Cf为燃油成本，￥/kg。飞行成本指数Cindex的定义如下：

对于给定的成本指数，根据飞机重量，计算出飞行成本最小对应的最佳爬升表速IAS经济和最佳爬升马赫数M经济，即可按IAS经济/M经济模式爬升。

基于建立的成本指数计算模型和爬升性能计算模块，设定一系列的（IAS，M）速度组合。马赫数和表速的取值范围如下：

之后以（IAS，M）组合策略爬升，得到爬升段的飞行成本，找到飞行成本最低的（IAS，M）组合即为最佳的爬升速度，具体实现流程如图2所示。

对于VNAV爬升，总体思路是根据所需的爬升角或爬升率，反算出所需的推力大小，并控制飞机按此推力去爬升，计算流程如图3所示。

图2 经济爬升速度的优化计算流程

图3 迭代计算调用流程图

图3中，“转换高度”是飞机从“固定表速”爬升切换为“固定马赫数”爬升时的高度。可根据表速和马赫数，按照相对比较经典的公式来进行计算（略）；同时，本计算流程考虑到了固定爬升角和固定爬升率这两种不同的垂直速度计算方式，分别对应于1.1节和1.2节的算法。

依据计算流程，首先确定爬升的初始高度和目标高度，并以此为循环迭代判断条件；之后依据选定的爬升方式，如常规爬升、等爬升角爬升或者等爬升率爬升，调用不同的爬升参数计算公式；然后确定积分步长，计算出每一小步的飞机爬升性能参数，直至达到结束条件。在每一小步计算时，需要计算出真空速、爬升梯度、爬升率、爬升角、所需推力、燃油流量等参数，通过对其的累加，即可得到爬升阶段的总的爬升时间、爬升高度、消耗燃油和水平距离等性能参数。

依据建立的计算模型，采用VISIO STUDIO 2018编程工具，使用C#语言进行编程实现，主要包括性能基础数据加载、性能模型解算、输入输出界面设计等三部分。总体界面如图4所示。

图4 VNAV爬升性能参数计算软件

以波音737-800飞机为例，通过与波音公司PET工具软件计算结果的比对，分析文中模型与开发软件的计算精度。

测试对比的计算条件：温度为ISA+0、ISA+10；重量为60 000~70 000kg；经济爬升成本指数为40；考虑10 000 ft的表速250节限制；在10 000 ft上平飞加速；机场高度为0；起飞结束高度为1 500 ft；起飞离场段的时间、油量和距离通过机型基础型数据库中的相应表格来获得；剩余爬升率为300 ft/min；最大爬升推力；发动机正常；爬升结束高度为37 000 ft。使用PET和开发软件计算出的爬升性能参数对比如表1所示。

表1 爬升性能参数的计算精度对比

通过与波音PET软件计算结果的对比，开发软件计算结果与PET的偏差为：（1）爬升时间的最大偏差为4.92 s；最大相对偏差为0.349%。（2）爬升油量的最大偏差为4.56 kg；最大相对偏差为0.224%。（3）爬升距离的最大偏差为1 043.58 m；最大相对偏差为0.463%。受限于PET在迭代计算步长、基础数据插值方法等方面的保密性，与文中存在一定差异性，导致计算结果并不完全一致，但上述偏差不超过0.5%，总体上可以接受。

使用开发的软件，以某型国产在研飞机为例，假定飞机重量为200 000 kg，初始高度为25 000 ft（7 621.95 m），目标高度为35 000 ft （10 670.73 m），以250/300/0.8常规爬升方式爬升。在常规爬升基础上设置1°、2°、3°爬升角爬升和5 m/s、10 m/s爬升率爬升，对爬升总时间、总距离、总油量、推力、燃油流量等性能参数进行对比分析，不同爬升方式下的性能数据对比如表2所示。

在VNAV爬升过程中，当爬升速度（如给定成本指数）一定时，爬升角/爬升率越小，达到目标高度所需时间、爬升距离和油量消耗就越大。而随着爬升角/爬升率的增加，结果逐渐接近于常规爬升。

表2 不同爬升方式下的性能数据对比

图5为常规爬升、固定爬升角在1°、2°、3°时爬升的推力变化对比图，图6为常规爬升、固定爬升率为5 m/s、10 m/s爬升的推力变化对比图。

图5 常规爬升、等爬升角爬升推力对比图

由图5可见，常规爬升时，推力是一直在减小的。当飞机爬升角固定为1°、2°时所需推力逐渐增加，但始终小于常规爬升时所用的最大爬升推力。

转换高度上下都能实现等爬升角爬升，但所需爬升时间较长。随着爬升角度增加到3°时，转换高度以下部分高度爬升时所需推力受到最大爬升推力的限制因此无法实现3°爬升角爬升，转换高度以上所需推力不受限制可实现3°爬升角爬升。

图6 常规爬升、等爬升率爬升的推力参数对比

当飞机爬升率固定为5 m/s、10 m/s时，所需推力逐渐增加但仍小于最大爬升推力，转换高度上下均可实现。当爬升角增加为4°及以上或者当爬升率增加到15 m/s及以上时，所需推力会受到最大爬升推力的限制，其爬升效果与常规爬升是一样的。即达到目标高度所需时间、爬升水平距离、油量消耗等于常规爬升，本文不再进行分析讨论。

图7（a）所示为常规爬升、爬升角固定为1°、2°、3°爬升的燃油流量变化对比图。图7（b）所示为常规爬升、爬升率固定5 m/s、10 m/s爬升的燃油流量变化对比图。

从图7中可以看出，无论是常规爬升还是固定爬升角或者爬升率爬升，燃油流量的变化趋势与推力变化趋势基本一致，这是因为油量消耗与气压高度、推力和马赫数相关，爬升过程中，推力变化幅度相对气压高度和马赫数来说比较大，因此燃油流量变化与推力变化趋势基本一致。

图7 发动机燃油流量参数的对比

阻力的大小受空气密度、阻力系数、速度的影响，在爬升过程中相对来说阻力受速度变化的影响较大。图8（a）所示为常规爬升、爬升角固定为1°、2°、3°爬升的阻力变化对比图，图8（b）所示为常规爬升、爬升率固定5 m/s、10 m/s爬升的阻力对比图。

从图8（a）、图8（b）可以看出，在转换高度以下，飞机等表速爬升过程中速度是增加的，因此阻力呈现增加趋势。在转换高度以上，飞机等马赫数爬升过程中速度是减小的，因此阻力呈现减小趋势。

图8 飞机气动阻力参数的对比分析

建立了VNAV爬升策略（等爬升角/爬升率）计算模型，对不同爬升策略进行计算分析。

1）VNAV爬升所需推力随爬升角/爬升率增加而增加。当所需推力超过最大爬升推力时，会等同于常规爬升。

2）与传统爬升相比，VNAV爬升更贴近实际飞行情况，但达到目标高度时所需时间、距离和油量往往大于常规爬升。

3）在飞行计划制作、离场航迹优化等研究中，需要考虑VNAV爬升与传统爬升的差异性，以提高预测的精度和有效性。

[1] ZHANG M,HUANG Q W,LIU S H,et al.Fuel consumption model of the climbing phase of departure aircraft based on flight data analysis[J].Sustainability,2019,11（16）:1-23.

[2] PRATS X,PUIG V,QUEVEDO J,et al.Multi-objective optimisation for aircraft departure trajectories minimising noise annoyance[J].Transportation Research Part C:Emerging Technologies,2010,18（6）:975-989.

[3] HO-HUU V,HARTJES S,VISSER H G,et al.Integrated design and allocation of optimal aircraft departure routes[J].Transportation Research Part D:Transport and Environment,2018,63:689-705.

[4] GHAZI G,BOTEZ R M,MANIETTE N.Cessna citation X takeoff and departure trajectories prediction in presence of winds[J].Journal of Aerospace Information Systems,2020,17（12）:659-681.

[5] MENDOZA A M,BOTEZ R.Vertical navigation trajectory optimization algorithm for a commercial aircraft[C]//AIAA/3AF Aircraft Noise and Emissions Reduction Symposium,June 16-20,2014,Atlanta,GA.[S.l.]:AIAA,2014.

[6] HARTJES S,VISSER H G.Efficient trajectory parameterization for environmental optimization of departure flight paths using a genetic algorithm[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part G:Journal of Aerospace Engineering,2017,231（6）:1115-1123.

[7] 魏志强,韩孝兰.基于遗传算法的飞机经济爬升速度优化方法[J].飞行力学,2020,38（1）:14-20.

[8] 吕开妮,南英.基于自适应遗传算法的客机爬升段轨迹优化[J].计算机仿真,2017,34（1）:66-69;122.

[9] 许跃凤,胡荣,张军峰,等.基于BADA模型的飞机持续爬升运行减噪效果研究[J].交通运输系统工程与信息,2017,17（4）:201-206;227.

[10] 刘雪涛,张序.空客A320系列爬升性能研究[J].沈阳航空航天大学学报,2015,32（2）:91-96.

[11] 董新民,陈勇.飞机等表速运动方程与稳态爬升参数计算[J].飞行力学,2017,35（1）:11-15.

[12] 陈娅莉,董新民,陈勇.飞机最短时间爬升轨迹的格点搜寻算法[J].飞行力学,2009,27（6）:33-36.