第十讲频域分析法（Nyquist曲线）

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第十讲频域分析法（Nyquist曲线）

2024-04-30 16:32| 来源: 网络整理| 查看: 265

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概述

频域（频率响应）法是研究控制系统的一种工程方法，属于经典控制理论最重要、最主要的分析方法。根据开环系统的稳态频率特性图，分析闭环系统的稳定性、稳定裕度及动态性能。

1932年，Nyquist 提出频域稳定判据；1940年，Bode 提出了在对数坐标系下简化作图的方法。

频域分析法的突出优点是可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。应用频率特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具有明显的物理含义。频域法分析系统使用的工具可以是曲线、图表及经验公式。

特点：

物理意义鲜明，有很大的实际意义。与时域分析相比，工程运算量小。与过渡过程的性能指标有对应关系，无需解出系统的特征根。由于采用作图，有很强的直观性。应用对象广泛。不仅适用于二阶系统，也适用于高阶系统；不仅适用于线性定常系统，也可推广应用于某些非线性系统。尤其系统在某些频率范围存在严重的噪声时，应用频率特性法可以比较满意地抑制噪声。

关键概念

频率特性是系统的一种数学模型；频率特性有三种图形：幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线），对数频率特性曲线（又称Bode图），对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线）。

最小相位系统的幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕量和幅值裕量来反映系统的相对稳定性。利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。

时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。

频域分析法的特点是可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能（稳定性、稳定裕度及动态性能），并能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。此外，除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。但是，在一定条件下，这种方法也可以推广应用到非线性系统中。

一、频率特性

1.频率特性概述

设线性定常系统输入信号为r(t)，输出信号c(t)，如图所示。

图中，G(s)为系统的传递函数。

定义线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω)

频率特性与传递函数的关系：

上述结论对一般的线性定常系统都成立。可扩展用于不稳定系统。

物理意义：

需要指出，当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。

频率特性的基本思想：将控制系统的各个变量看成一些信号，而这些信号又是由不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。

幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性；相频特性表示系统在不同频率正弦信号作用下稳态输出的相位移；已知系统的传递函数，令 s=jω，可得系统的频率特性（无论稳定与否）；频率特性虽然表达的是频率响应的稳态特性，但包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质；频率从0→∞的稳态特性反映了系统的全部动态性能。

2. 频率特性的求取

系统的频率特性和传递函数、微分方程

$\left| G(j\omega) \right|$ 反应了系统在不同频率的正弦输入信号作用下，稳态输出的幅值和输入信号幅值之比。

$\angle G(j\omega)$ 反应了系统在不同频率的正弦输入信号作用下，输出信号相对于输入信号的相位位移。

由频率特性概念知，频率特性G(jω)是传递函数的一种特例，我们可以由传递函数来得到系统的频率特性。即将传递函数中的复变量s换成纯虚数jω就得到系统的频率特性。

G(jω)=G(s) |s=jω

也可以由实验方法获得系统的频率特性。方法是根据稳态输出的幅值比和相位差得到。但是不能针对不稳定系统，因为它的输出会存在振荡和发散。

3. 频域性能指标

频率特性在数值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动静态特性。

系统的频率特性曲线如图所示。

1. 谐振频率是幅频特性A(ω)出现最大值时所对应的频率；

2. 谐振峰值指幅频特性的最大值。值大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量越大；

3. 频带指幅频特性A(ω)的幅值衰减到起始值的0.707倍所对应的频率。大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短；

4. A(0)指零频(ω=0)时的幅值。A(0)表示系统阶跃响应的终值，A(0)与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，A(0)越接近于1，系统的精度越高。

二、幅相频率特性

频率特性曲线共有三种：幅相频率特性曲线（Nyquist曲线），对数频率特性曲线（又称Bode图），对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线）。

这里介绍幅相频率特性曲线，即极坐标图、对数坐标图，对数幅相图。在复平面上，以角频率 $\omega$ 为自变量，把频率特性的幅频特性（模）和相频特性（相角）同时在复平面上表示出来。

幅频特性是关于 $\omega$ 的偶函数；相频特性是关于 $\omega$ 的奇函数。

$\omega：0\rightarrow\infty$ 的曲线和 $\omega：-\infty\rightarrow\ 0$ 的曲线是关于实轴对称的。

对系统进行性能分析（尤其是稳定性分析）时，不需要绘制精确的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可，一般使用描点法、绘制轮廓线。

惯性环节的相频率特性曲线

例子：试绘制惯性环节 $G(j\omega)=\frac{1}{j\omega T+1}$ 的幅相频率特性曲线。

设 T=1 ，则 $G(j\omega)=A(\omega)e^{j\varphi}=\frac{1-j\omega}{\omega^{2}+1}=P(\omega)+jQ(\omega)$

$P(\omega)=\frac{1}{\omega^{2}+1}$ $Q(\omega)=\frac{-\omega}{\omega^{2}+1}$

另 $A=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^{2}}}$ $\varphi=-arctg \omega$

所以有 $A^{2}(\omega)=P^{2}(\omega)+Q^{2}(\omega)$

以 $\omega$ 为变量，计算和 $\varphi$ ，描点后可得惯性环节的幅相频率特性图，实际是一个半圆。

考虑 $\omega：-\infty\rightarrow+\infty$ ，图像对称于实轴，为一个完整的圆形。

下面介绍开环系统极坐标图的绘制

1. 0型系统

例：绘制已知系统的极坐标图。

2. 1型系统

例：绘制已知系统的极坐标图。

对于1型系统，一定有ω→0+ 时，实部→有限值

3. 2型系统

例：绘制已知系统的极坐标图。

对于2型系统，一定有ω→0+ 时，实部和虚部都→∞

例：绘制已知系统的极坐标图。

三、乃奎斯特稳定判据

乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，是由H. Nyquist于1932年提出的。这一判据是利用开环系统幅相频率特性（乃氏图），来判断闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。

1、 Nyquist稳定判据一

当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表示为：当ω从-∞→+∞变化时的Nyquist曲线G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳定。

由Nyquist曲线G(jω)H(jω) (ω从0→+∞)判别闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(jω)H(jω)曲线(ω：0→+∞)逆时针包围(-1，j0)的次数为 $\frac{ｐ}{２}$ 。