本期推文的主要内容是介绍固定效应回归的两种实现方法。首先从原理层面对两种方法进行公式推导，然后通过实例演示两种方法在Stata中的实现过程。方法1：组内离差：将个体观测值转换为对其组内均值的离差值，然后进行 OLS 回归；方法2：LSDV（Least Square Dummy Variable）：先设定个体或时间的虚拟变量，再进行 OLS 回归。

注意：两种方法计算方式不同，但是计算结果是相同的。

其中 \alpha_i 是个体固定效应，包含随个体不随时间变化的不可观测因素或选择偏差。

先按个体分组对时间求均值：

\bar{Y}_{i}=\bar{\pmb{X}}_{i}^{\prime} \pmb{\beta}+\alpha_{i}+\bar{u}_{i}\tag{1.2}

(1.1)-(1.2)式，可以消去 \alpha_i :

Y_{it}-\bar{Y}_i=(\pmb{X}_{it}-\bar{\pmb{X}}_i)^{\prime} \pmb{\beta}+(u_{it}-\bar{u}_i)\tag{1.3}

整理得： \tilde{Y}_{it}=\tilde{\pmb{X}}_{it}^{\prime} \pmb{\beta}+\tilde{u}_{it}\tag{1.4}

其中 \tilde{Y}_{it}=Y_{it}-\bar{Y}_i ， \tilde{\pmb{X}}_{it}=\pmb{X}_{it}-\bar{\pmb{X}}_i ， \tilde{u}_{i}=u_{it}-\bar{u}_i 为组内离差

用 OLS 估计(1.4)式，称作组内估计：

\begin{aligned} \hat{\pmb{\beta}}^{within}&=(\tilde{\pmb{X}}^{\prime}\tilde{\pmb{X}})^{-1}(\tilde{\pmb{X}}^{\prime}\tilde{\pmb{Y}})\\ &=(\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T}{\tilde{\pmb{X}}_{it}\tilde{\pmb{X}}_{it}^{\prime}})^{-1}(\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T}{\tilde{\pmb{X}}_{it}\tilde{Y}})\\ &=(\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T}{(\pmb{X}_{it}-\bar{\pmb{X}}_i)(\pmb{X}_{it}-\bar{\pmb{X}}_i})^{\prime})^{-1}(\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T}{(\pmb{X}_{it}-\bar{\pmb{X}}_i)(Y_{it}-\bar{Y}_i})) \end{aligned}

\hat{\pmb{\beta}}^{within} 称作组内估计量，如果 u_{it} 还满足独立同分布条件，则 \pmb{\beta} 的组内估计量 \hat{\pmb{\beta}}^{within} 不但具有一致性而且还具有无偏性和有效性。

剔除 \alpha_i 就是剔除了不随时间变化的不可观测因素和选择偏差（内生性）对估计系数 \pmb{\beta} 的影响，因此个体固定效应可以解决一部分由不随时间变化的不可观测因素和选择偏差带来的内生性问题。

生成个体 i 的虚拟变量：

Y_{it}=\pmb{X}_{it}^{\prime} \pmb{\beta}+\alpha_{1}D_{1}+\dots+\alpha_{i}D_{i}+\dots+\alpha_{N}D_{N}+u_{it}\tag{1.5}

可以简写为：

Y_{it}=\pmb{X}_{it}^{\prime} \pmb{\beta}+\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}D_{i}+u_{it}\tag{1.6}

(1.5)式与(1.1)式写法不同，但本质是一样的。个体固定效应 \alpha_i 就是虚拟变量 D_i 的系数，直接用 OLS 估计(1.5)式的方法称为最小二乘虚拟变量法（LSDV，Least Square Dummy Variable）

（1）在第一种方法中，固定效应模型包含三种等价的基本代码：xtreg y x ,fe、areg y x, absorb(id)、reghdfe y x, absorb(id)， 本部分以 Kleiber & Zeileis (2008)[1]的Grunfeld.dta数据集为例。在本例中，被解释变量是 invest ，解释变量是 mvalue 和 kstock ，个体变量是 company ，时间变量是 year 。

首先调用数据集Grunfeld.dta

代码1：xtreg y x ,fe

运行结果：

代码2：areg y x, absorb(id)

运行结果：

代码3：reghdfe y x, absorb(id)

运行结果：

（2）在第二种方法中，实现LSDV的代码为：reg y x i.id

运行结果：

对比四种结果：

运行结果：

代码2：areg gdpr did, absorb(year)

运行结果：

代码3：reghdfe gdpr did, absorb(year)

运行结果：

（2）在第二种方法中，实现LSDV的代码为：reg gdpr did i.year

运行结果为：

对比四种结果：

输出结果：

代码2：areg lngdp did i.year, absorb(id)

运行结果：

代码3：reghdfe lngdp did, absorb(id year)

运行结果：

（2）在第二种方法中，实现LSDV的代码为：reg lngdp did i.id i.year

运行结果：

对比四种结果：

运行结果：