Matlab fmincon函数 |
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Matlab fmincon函数
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函数功能函数表达及用法==**trust-region-reflective算法的说明 (梯度)**==**==Hessian矩阵应用说明==**
返回值
函数功能
获取约束的非线性多变量函数的最小值 样式： 
trust-region-reflective算法的说明 (梯度)
针对SpecialObjectiveGradient 将梯度计算加入目标函数中，以实现更快或更可靠的计算。将梯度计算作为条件化输出包含在目标函数文件中 注： 1.目标函数（标量）作为第一个输出，梯度（向量）作为第二个输出（应该是默认的） 2.使用 optimoptions 将 SpecifyObjectiveGradient 选项设置为 true。如果有的化，也将 SpecifyConstraintGradient 选项设置为 true。 fun = @rosenbrockwithgrad; x0 = [-1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = [-2,-2]; ub = [2,2]; nonlcon = []; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)调用 options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true); 输出结果 Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 1.0000 1.0000
上例代码修改为 function [f, g, H] = rosenboth(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; if nargout > 2 % Hessian required H = [1200*x(1)^2-400*x(2)+2, -400*x(1); -400*x(1), 200]; end end注： 1.使用 fmincon ‘trust-region-reflective’ 和 ‘interior-point’ 算法以及 fminunc ‘trust-region’ 算法来包含二阶导数。根据信息的类型和算法，可通过几种方法来包括 Hessian 矩阵信息。 2. 您还必须包含梯度（将 SpecifyObjectiveGradient 设置为 true，如果适用，还必须将 SpecifyConstraintGradient 设置为 true）以便包含 Hessian 矩阵 调用： options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region',... 'SpecifyObjectiveGradient',true,'HessianFcn','objective');适用于 fmincon 内点算法的 Hessian 矩阵. 该 Hessian 矩阵是拉格朗日函数的 Hessian 矩阵，其中 L(x,λ) 是 lambda.ineqnonlin lambda.eqnonlin fmincon 计算结构体 lambda，并将其传递给您的 Hessian 函数。hessianfcn 必须计算上式中的总和。通过设置以下选项表明您提供了 Hessian 函数： ptions = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point',... 'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true,... 'HessianFcn',@hessianfcn);
将 hessianfcn 保存到 MATLAB 路径。为了完成此示例，包含梯度的约束函数为 function [c,ceq,gc,gceq] = unitdisk2(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = [ ]; if nargout > 2 gc = [2*x(1);2*x(2)]; gceq = []; end调用： fun = @rosenboth; nonlcon = @unitdisk2; x0 = [-1;2]; options = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point',... 'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true,... 'HessianFcn',@hessianfcn); [x,fval,exitflag,output] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],[],[],@unitdisk2,options);
返回值
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___) additionally returns: x— variable fval— the value of the objective function fun exitflag— describes the exit condition of fmincon, output— a structure output with information about the optimization process. lambda — Structure with fields containing the Lagrange multipliers at the solution x. grad — Gradient of fun at the solution x. hessian — Hessian of fun at the solution x. See fmincon Hessian.有关拉格朗日算子到底是啥，可参考：如何理解拉格朗日乘子法？ 梯度和海森矩阵请参考：牛顿法与拟牛顿法学习笔记 exitflag output  lambda  Hessian 
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其中,c(x), ceq(x) 分别表示非线性的约束条件，而A, Aeq表示的是线性约束。
g 和 h 是向量函数，分别表示所有不等式和等式约束（指有界、线性和非线性约束），因此最小化问题的公式为 
拉格朗日方程的 Hessian 矩阵公式为： 
ssian 是 n×n 矩阵（稀疏或稠密），其中 n 是变量的数目。如果 hessian 很大并且非零项相对较少，请将 hessian 表示为稀疏矩阵，以节省运行时间和内存。lambda 是具有与非线性约束相关联的拉格朗日乘数向量的结构体：
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