本文透彻讲解高斯消元法的各种意义和过程，不局限于它的解方程功能，探索更深刻的含义。先讲解解方程的过程，再介绍相关的概念、解读背后的原理。如果你已经熟悉使用高斯消元法解方程组，可选择性跳过部分内容。

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你一定会解简单的线性方程组，比如下面这样的： 你一定知道，消元的过程就是解方程的过程。对于上面的方程组， ( 1 ) + ( 3 ) (1)+(3) (1)+(3)、 ( 1 ) × 2 − ( 2 ) (1)\times 2-(2) (1)×2−(2)可以消掉 x 1 x_1 x1​，得到的两个方程进一步可以消掉 x 2 x_2 x2​或 x 3 x_3 x3​，进而解得结果。

这个过程可以用矩阵描述，表达的是相同含义。

把方程组左边变量前的系数放进矩阵： A = ( 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ) A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2\\ 4 & 9 & -3\\ -2 & -3 & 7\\ \end{pmatrix} A=⎝⎛​24−2​49−3​−2−37​⎠⎞​ 把方程组右边数字放进矩阵： b = ( 2 8 10 ) b=\begin{pmatrix} 2\\ 8\\ 10\\ \end{pmatrix} b=⎝⎛​2810​⎠⎞​ 原方程可以写成： A x = b Ax=b Ax=b

接下来进行消元的过程。由于等式之间的加减法同时操作等式两边，以上两个矩阵 A , b A,b A,b的「行变换」需要同时进行，故把它们放进同一个矩阵： A ′ = ( 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ) A'=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 4 & 9 & -3 & 8\\ -2 & -3 & 7 & 10\\ \end{pmatrix} A′=⎝⎛​24−2​49−3​−2−37​2810​⎠⎞​

先消掉 ( 2 ) , ( 3 ) (2),(3) (2),(3)中的 x 1 x_1 x1​，也就是把矩阵第2，3行的第一列变为0。将第1行直接加到第3行、乘2后减去第2行，可以实现这个效果： A ( 1 ) = ( 2 4 − 2 2 0 1 1 4 0 1 5 12 ) A^{(1)}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 1 & 5 & 12\\ \end{pmatrix} A(1)=⎝⎛​200​411​−215​2412​⎠⎞​ 相当于保持第一个方程不变，使用第一个方程，在第2，3中消去了 x 1 x_1 x1​。新的第2，3方程如下： 上面的操作可以看出，把矩阵的一行乘上某个数字，再加/减到另一行，可以看作把方程组中的两个方程拿出来，让他们的等式两边相互加减，就是我们熟悉的消元手法！

上式可以再看成一个二元一次方程组，在其中的一个方程中消去 x 2 x_2 x2​或 x 3 x_3 x3​，就可以解出这个方程组，再通过带入 Equ 1 \text{Equ}_1 Equ1​第一个方程解出 x 1 x_1 x1​。

我们用矩阵的语言描述消去 x 2 x_2 x2​的过程。在已经得到 A ( 1 ) A^{(1)} A(1)的前提下，使用第2行，把 A ( 1 ) A^{(1)} A(1)第3行第2列的数字变成0，也就是消去 x 2 x_2 x2​的过程。得到的矩阵如下： A ( 2 ) = ( 2 4 − 2 2 0 1 1 4 0 0 4 8 ) A^{(2)}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4 & 8\\ \end{pmatrix} A(2)=⎝⎛​200​410​−214​248​⎠⎞​ 第三行表达成方程： Equ 3 : 4 x 3 = 8 \text{Equ}_3:4x_3=8 Equ3​:4x3​=8 为了解出 x 3 x_3 x3​，得到 x 3 = … x_3=… x3​=…的形式，要给 Equ 3 \text{Equ}_3 Equ3​两边同时除以 4 4 4，得到 Equ 4 : x 3 = 2 \text{Equ}_4:x_3=2 Equ4​:x3​=2。矩阵也对应操作， A ( 2 ) A^{(2)} A(2)第3行除以 4 4 4： A ( 3 ) = ( 2 4 − 2 2 0 1 1 4 0 0 1 2 ) A^{(3)}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{pmatrix} A(3)=⎝⎛​200​410​−211​242​⎠⎞​ 把 x 3 x_3 x3​带入 Equ 2 \text{Equ}_2 Equ2​的任意一个方程都可以解出 x 2 x_2 x2​。因为上步操作中，把 Equ 2 \text{Equ}_2 Equ2​的第二个方程的 x 2 x_2 x2​消去了，所以现在把 Equ 4 : x 3 = 2 \text{Equ}_4:x_3=2 Equ4​:x3​=2带入第一个方程，相当于等式两边同时减去 Equ 4 : x 3 = 2 \text{Equ}_4:x_3=2 Equ4​:x3​=2，得到 Equ 5 : x 2 = 2 \text{Equ}_5:x_2=2 Equ5​:x2​=2。对应矩阵操作，是拿 A ( 3 ) A^{(3)} A(3)的第3行去减第2行： A ( 4 ) = ( 2 4 − 2 2 0 1 0 2 0 0 1 2 ) A^{(4)}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{pmatrix} A(4)=⎝⎛​2