定理1 设A为mXn矩阵,则

(1)齐次线性方程组AX=0 只有零解的充分必要条件是r(A)=n;

(2)齐次线性方程组AX=0 有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是r(A)＜n

推论1 设A为n阶矩阵,则

(1)齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是|A|≠0;

(2)齐次线性方程组AX=0有非零解(或有无数个解)的充分必要条件是|A|=0

注意:

①齐次线性方程组系数矩阵的秩相当于方程组中约束条件的个数，当 r(A)=n 时，表示齐次线性方程组中未知数的个数与约束条件的个数相等,即没有自由变量,故齐次线性方程组只有零解;当 r(A)