数字图像处理

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数字图像处理

2024-01-25 06:34| 来源: 网络整理| 查看: 265

关于投影的基础知识：

假设我们要用一束细细的，平行的X射线从左到右穿过（通过一个图像平面），这里我们假设物体吸收的射线束能量比背景吸收的射线束能量多。我们利用放在放在另一端的X射线吸收检测器来检测射线通过这个物体的能量

所以当左侧有一排X射线（光束带），右侧有一排X射线检测器（检测器带/吸收剖面）的时候，就会形成一副函数图像（通过接收器的位置和应该接收点接收能量的离散值形成），我们的目的是为了复原X射线穿过物体的图像，但是只是知道这个函数有什么用呢？

反投影法：

我们需要基于上述函数的信息来重建一幅图像，如下方右侧的图像所示，我们沿着射线来的方向把一维信号反投影回去。穿过二维图像的一维信号的反投影过程，可想象为把投影穿过该区域反“涂抹”回去。

反投影复原出二维图像：

利用上面描述的反投影法，刚才显示的图片是角度为 0 时得到的反投影图像，下面我们把角度旋转45度再进行一次，得到结果反投影结果如下图所示：

继续进行X射线带和检测带的45度角旋转，得到 0° ，45° ，90° ，135° 的四个角度（没有180° 是因为它的反投影会和0° 重合，导致得出的图像出现误差），如下图左所示他已经稍微可以看出来一些是原来的图像了。

以此为理论依据，我们把旋转的角度变小，设置为间隔为 5.625° ，结果如下右图所示，基本可以还原出物体的轮廓，但是间隔不能设置的太小，间隔越小导致图像越模糊，这也就需要之后我们进一步处理图像，使该物体让人们看起来更舒服。

包含两个物体的反投影：

下左图是射线待穿过的两个物体，通过一个 0° 的X射线带（如下中图）并不能确定两个物体的位置，但是再通过一个90° 的X射线带就可以了解大概的位置,（如下右图）

再用之前提到的45°的4个反投影可以使位置变得更明确（下左图），或者使用32个以5.625°为间隔的反投影还原图像（下右图）。

计算机断层（CT）原理：

刚才提到了，使用反投影技术（比如32个以5.625°为间隔的反投影），可以还原一个二维的图像，但是我们希望得到一个三维的图像，所以我们三维面叠加若干个二维图像，得到三维的物体模型。

这里详细说明一下，为了得到一个二维图像切面，所以刚才我们在水平面上进行了32个以5.625°为间隔的旋转，通过32个反投影的叠加得到二维图像切面。之后我们在竖直平面翻转32个以5.625°为间隔的旋转，每一次翻转都得到了一个二维图像切面，通过叠加这些二维图像，获得三维物体。

下面是第一代CT和第二代CT，工作原理相同，只是第二代CT 发射扇形的射线束。

第三代CT和第四代CT就发展为不需平移的了，只需要射线旋转，使用了足够长的检测带，第四代则是使用了环形的1检测带，三代和四代CT优点是速度快，但是造价偏高。

第五代往后的CT就不在陈述了。

投影和雷登变换：

在笛卡尔坐标系中，一条直线可以用斜截式： $y=ax+b$ 来表示，在投影这方面，我们需要用到它的法线表达式： $xcos\theta +ysin\theta=\rho$

还是陈述一下：法线公式 $xcos\theta +ysin\theta=\rho$ 的推导过程吧（不感兴趣的可以略过）：

原式为 $y=ax+b$

$K=-\frac{1}{k}$

其中大 $K$ 为待求法线ON的斜率，小 $k$ 为原函数AB斜率。

$k = tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }$

$K=-\frac{1}{tan\theta }=-\frac{cos\theta }{sin\theta }$

所以法线式为： $Y=Kx+b=-\frac{cos\theta }{sin\theta }x+\frac{\rho }{sin\theta }$

整理后得到： $xcos\theta +ysin\theta=\rho$

平行射线束的投影可由一组直线建模，投影信号中的任意一点由沿直线的 $xcos\theta k +ysin\theta k=\rho j$ 给出（ $k,j$ 都是下标， $k$ 表示 $\theta$ 每个不同的角度， $j$ 表示每个 $\rho$ 不同的接收面），工作在连续变量的情况下，线求和变为变限积分：

$g(\rho ,\theta )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta -\rho )dxdy$

这个就是雷登变换，雷登变换是投影重建的基石。

$\delta (xcos\theta +ysin\theta-\rho )$ 是之前在傅里叶变换中学到的冲激串函数，换句话说，除非 $xcos\theta +ysin\theta-\rho=0$ ，否则 $\delta (xcos\theta +ysin\theta-\rho )=0$

解释一下：式中 $f(x,y)$ 是检测物体的平面切片函数，或者说是待检测物体某个角度的一张图片，而 $g(\rho ,\theta )$ 是在 $\theta$ 角度下得到的投影能量图，通俗的解释就是，这一串X光线只穿过背景的话，他的

$g(\rho ,\theta )$ 值就很小，但是X射线穿过的物体越多 $g(\rho ,\theta )$ 值就越大。（下图中，上方的波形图就是 $g(\rho ,\theta )$ ）

雷登变换的离散形式：

$g(\rho ,\theta )=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta -\rho )$

值得注意的是，雷登变换是一直物体的平面图 $f(x,y)$ 求出一串X射线穿过其的能量图。但是本人个人认为，更多还是已知 $g(\rho ,\theta )$ 能量图，用来反推出出 $f(x,y)$ 物体的形状。

下图就是物体的形状 $f(x,y)$ 根据雷登变换得出的 $g(\rho ,\theta )$ 的能量图。（由于这个物体平面 $f(x,y)$ 是个圆形， $\theta$ 是多少都是一样的）

下图显示的是Shepp-Logan幻影图像。横坐标 $\rho$ 可以理解为能量，纵坐标为角度，可以看出是关于90°对称的。

我们把有角度 $\theta$ 处X射线带的能量图化为图像后，为了得到物体切面的最终结果，把所有反投影图像累加：

$f(x,y) = \sum_{\theta =0}^{\pi }f\theta (x,y)$

CT的关键目的还是从投影中得到物体的三维表示。方法上面已经说过了，简单来说就是通过堆积反投影获取二维图像，再堆积二维图像再现三维物体。

傅里叶切片定理：

经过刚才的描述我们知道 $g(\rho ,\theta )$ 是一个一维的能量波图像，对这个一维的图像进行傅里叶变换：

$G(w,\theta )=\int_{-\infty }^{\infty}g(\rho, \theta )e^{-j2\pi w\rho}d\rho$

注意这是一维傅里叶变换， $\theta$ 应该是已知的。

将上文提到的雷登变换公式

$g(\rho ,\theta )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta -\rho )dxdy$ 代入 $G(w,\theta )$

得到表达式：

$G(\rho ,\theta )=\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty}f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta -\rho )e^{-j2\pi w\rho}dxdyd\rho$