最近看到了这样的一道题：

温馨提示:本篇尚未给出详细解答，但分析了求解此类题的通用思路

联想到21年高考的乙卷出过的一道题：

于是尝试采用这道高考题的解题思路去解上面那道题，但无疑遇到困难了：

(1)采用穿针引线会出现作图不够“精确”的情况

(2)采用暴力求导的方法，计算量会直接劝退

这两种方法都没行通，但毕竟这又是一道题，因此暗示着是能写出答案的，于是这意味着一定有更好的方法来解决这道题乃至进行一些拓展！

经过查阅资料，了解到原来这是考研数学里头的一类经典题了！不少视频也都提及了代数的解法以及“穿针引线”的方法，但总避免不了有网友对其“严谨性”提出质疑。于是决定以“总结心得+解决一些困惑”双重目的写下这篇专栏

另外，在写专栏的过程中，我又偶然间想到了一种更精简的“形式算法”（在文末处）~

在此之前先要给出两个前置定理以及一个推论：

(1)罗尔中值定理：若函数f(x)满足在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

(2)代数基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。

以上两个定理当作前置知识，证明可自行参考其他资料。另外注意标红的关键字

(3)若为多项式函数f(x)的n重零点，则为f'(x)的n-1重零点

证明：

设，其中，则有：

其中为的n-1重零点，

下面我们只需证明x=x0不是右边剩余的那个方程的解即可

故不是的零点

综上，为f'(x)的n-1重零点，结论得证！

特别地，当n取1时，x=x0不是f'(x)的零点。即f(x)的单根一定不是f'(x)的根，也即f(x)的单根处切线一定是倾斜(非水平)的。这个推论在后续分享的“穿针引线”的准确作图提供了理论依据。

这些标粗的部分有不少是比较好用的推论，文末会进行一次梳理总结

有了以上的2个定理和1个结论后，先以一道例题进行练习：

求函数的零点，驻点，极值点以及拐点

先附上答案：4,6,5,6

判断方法分别为：

驻点：一阶导f'(x)的零点

极值点：一阶导f'(x)的变号零点

拐点：二阶导f''(x)的变号零点

这几个判断方法根据定义不难推出，以及一些前提条件默认满足。比如用这个方法判断拐点时要求f(x)二阶可导，而多项式函数是任意阶可导的，因此这些前提条件是显然满足的~

零点已经由式子给出(这种题一般都是已经帮你因式分解好了的)，共4个，即x=1(1重),x=2(2重),x=3(3重),x=4(4重)

一方面，在相邻两个零点所围的闭区间上分别使用罗尔中值定理得，

分别，使得：

另一方面，由结论(3)知，x=1不是f'(x)零点，x=2为f'(x)1重零点，x=3为f'(x)2重零点，x=4为f'(x)3重零点

不妨画个示意图来标记：μ

这里需要注意的是，由罗尔定理得到的ξ₁到ξ₃目前只是得知“至少存在一个”，因此每个ξ的重数目前还未知，因此是≥1，当然也有可能在每个区间上存在两个或多个不同的ξ的可能，那么接下来咋办呢？接下来就需要结合代数基本定理来完成讨论了~

由前面的讨论，我们得知f'(x)至少有1+1+1+2+1+3=9个根，因此f'(x)至少为9次函数

而f(x)为1+2+3+4=10次函数，因此f'(x)为9次函数(多项式函数求导会降低1次)，那么f'(x)只能为9次函数了，从而根据代数基本定理f'(x)有且仅有9个根！

这说明什么？说明前面找到的这9个根不多不少刚刚好！

因此f'(x)可以写成如下的因式分解的形式：

这里的A就是f'(x)的最高次项，也即对f'(x)先提取最高次项系数，再对剩余部分进行因式分解，得到的便是如上的形式

于是驻点数就是零点个数，共6个驻点。

极值点就是在此基础上找变号零点，也就是奇数重零点。这里为f'(x)的奇数重零点，即共有5个极值点

再接着找拐点，也即f''(x)的变号零点

那么做法是类似的，我们可以吧f'(x)看成一个新的多项式函数，然后用找f(x)的极值点的方法来找f'(x)的极值点，重复以上步骤即可：

ps:这个图标号有些大小不一，因为我是用自带的画图软件整的( ，因此排版上比较丑陋先凑合着看看，有空得学一些美观的排版才行[恼]

也即以相邻两个零点为端点的闭区间分别使用罗尔定理，得到μ₁~μ₅共5个f''(x)的零点。

再利用文章开头证明的结论(3)得到x=3为f''(x)的1重零点，x=4为f''(x)的2重零点

最后结合代数基本定理进而证得所找到的这一个5+1+2=8个根恰为f''(x)的8个根

再来判断f''(x)的变号零点，奇数重零点共有6个，因此拐点个数为6。

上面的过程中，不难发现，给定一个已经完成因式分解的多项式函数f(x)，我们总能通过如下步骤把其导函数f'(x)的所有根找到(注意是找到，并非把根的解析解求出)：

实际上，这就是求解该类题的万能模板！

以下是对采用该步骤找根的充分性的理论证明：

设

其中为正整数

一方面，对共k-1个闭区间上分别使用罗尔定理，从而得到共k-1个f'(x)的零点

另一方面，由文章开头的结论(3)可得：

分别为f'(x)的重零点

特别地，当取1时就得到即为f'(x)的0重零点，也即不是f'(x)的零点

而0参与加法后不改变原来的值，因此后续统计根的总数时这类特殊情况无须单独考虑

于是f'(x)至少有

个零点

而f(x)为次函数，因此f'(x)为次函数，则由代数基本定理知f'(x)有且仅有个根

综上，由罗尔定理+结论(3)寻找出的所有根就是f'(x)的所有根

到此，f'(x)也就能写成因式分解后的形式了：

对比形式可知，则形式上由f(x)到f'(x)可由这几步完成：

ps:注意这里说的是“形式上”也就是以下操作是便于“记忆”该规律的

(1)在相邻两个因式之间分别插入一个ξi(“见缝插针”)

这一步对应于罗尔定理

(2)将原有的因式的幂次分别-1(若原幂次为1，则-1后化为常数项)

(3)多出一个系数A，这个系数A一定是正数，只要保证f(x)是一开始设的那种形式，毕竟此时f(x)的最高次项是正数，因此求导后导函数的最高次项还是正数。

最后这个系数是不影响f'(x)零点的判断的，关键掌握前2步即可

有了后面的这种“形式”记法，那么前面这道题就能迅速通杀了：

求函数的零点，驻点，极值点以及拐点

采用这种“形式算法”就能快速得到导函数f'(x)，即

(1)见缝插针 (2)原因式幂次降1 (3)添系数

注意上面是呈现每完成一步后的形式，而非每完成一步都重抄一遍哦

于是f(x)的驻点(f'(x)零点)个数为6，极值点(f'(x)变号零点)个数为5

重复相同的“算法”步骤可得f''(x):

于是f(x)的拐点(f''(x)变号零点)个数为6

个人觉得我自己总结的这个形式算法还是蛮快的，可以认为是上面的作图标记法的精简版，原理其实在前面也证明过了哦（就是罗尔找点+结论(3)找点+代数基本定理验证+因式分解）

有了这个算法那么一开始的问题就很方便归纳了~只不过这里篇幅有限，就有空再留到下一篇文章来讲解~

补充：

另外，通过这一结论，我们也能得到几个有关多项式函数的奇妙性质，也留到下篇文章进行证明(感兴趣的读者也可以先自行思考一番~)：

(1)相邻两个零点之间存在唯一一个极值点

(2)相邻两个驻点之间存在唯一一个拐点

(3)若x=x0为f(x)的单根，则x=x0处切线一定不水平

这个(3)前文已证过了

(4)若x=x0为f(x)的≥2的偶数重根，则x=x0为f(x)的极值点

(5)若x=x0为f(x)的≥3的奇数重根，则x=x0为f(x)的拐点

注意表粗部分的关键词哦

以上几条性质是为后续的“穿针引线”发作图提供理论支撑的，有待下回分解~