通常将一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体称为集合，而将这些事件称为集合的元素。集合的元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分。

集合的特点： （1）集合中的元素是确定的。 （2）集合中的每个元素是可以互相区分开的。 （3）组成一个集合的每个元素在该集合中是无次序的，可以任意列出。 （4）集合的元素可以是任何事物，甚至是某个一集合。 （5）集合元素的个数没有限制，它可以是有限个也可以是无限个

有限集合：集合内元素个数有限（有限集合 A 中所含元素的个数记作 |A| ） 无限集合：集合内元素个数无限

集合 与 元素 之间存在属于“ ∈ \in ∈ ”或不属于“ ∉ \notin ∈/​”关系

1.列举法，是列出集合的所有元素，并用花括号括起来

例如： A = { a , b , c , d } 、 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } 、 S = { a , b , c , . . . , z } A=\{a,b,c,d\}、N=\{0,1,2,3,...\}、S=\{a,b,c,...,z\} A={a,b,c,d}、N={0,1,2,3,...}、S={a,b,c,...,z}

2.描述法，是将集合中元素的共同属性描述出来

例如： B = { x ∣ x 2 − 1 = 0 且 x ∈ R } 、 D = { x ∣ x 是 正 整 数 } B=\{x|x^2-1=0且x\in R\}、D=\{x|x是正整数\} B={x∣x2−1=0且x∈R}、D={x∣x是正整数}

3.文氏图法(图示法)，是用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点表示集合内的元素

常见的几个集合用特定的符号表示如下： 1.自然数集合 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } N=\{0,1,2,3,...\} N={0,1,2,3,...} 2.整数集合 Z = { . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } Z=\{...,-2,-1,0,1,2,...\} Z={...,−2,−1,0,1,2,...} 3.有理数集合 Q = { x ∣ x 是 有 理 数 } Q=\{x|x是有理数\} Q={x∣x是有理数} 4.实数集合 R = { x ∣ x 是 实 数 } R=\{x|x是实数\} R={x∣x是实数} 5.复数集合 C = { x ∣ x = a + b i , a , b ∈ R , i = − 1 } C=\{x|x=a+bi,a,b\in R,i=\sqrt {-1}\} C={x∣x=a+bi,a,b∈R,i=−1 ​}

对任意两个集合 A A A和 B B B，若 A A A中的每个元素都是 B B B中的元素，则称 A A A是 B B B的子集，记作 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B或 B ⊇ A B \supseteq A B⊇A。 若 A A A是 B B B的子集，也称 B B B包含 A A A，或 A A A被 B B B包含。 若 A A A不是 B B B的子集，即 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B不成立，则记作 A ⊈ B A\nsubseteq B A⊈B。 自然数集合 N N N、有理数集合 Q Q Q、实数集合 R R R之间有关系 N ⊆ Q ⊆ R N \subseteq Q \subseteq R N⊆Q⊆R。 对任意两个集合 A A A和 B B B，若 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B且 B ⊆ A B \subseteq A B⊆A，则称 A A A与 B B B相等，记作 A = B A=B A=B ，若 A A A与 B B B不相等，则记作 A ≠ B A≠B A​=B 。 对任意两个集合 A A A和 B B B，若 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B且 A ≠ B A≠B A​=B，则称 A A A为 B B B的真子集，记作 A ⊂ B A \subset B A⊂B 或 B ⊃ A B \supset A B⊃A。 若 A A A不是 B B B的真子集，则记作(符号打不出来，实际没有下面那条横杠) A ⊈ B A\nsubseteq B A⊈B。 自然数集合 N N N、有理数集合 Q Q Q、实数集合 R R R之间有关系 N ⊂ Q ⊂ R N \subset Q \subset R N⊂Q⊂R。

包含关系具有下面一些重要性质： 1.自反性：对于任意集合 A A A，有 A ⊆ A A\subseteq A A⊆A 2.反对称性：对任意两个集合 A A A和 B B B，若 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B且 B ⊆ A B\subseteq A B⊆A，则 A = B A=B A=B 3.传递性：对任意3个集合 A 、 B 、 C A、B、C A、B、C，若 A ⊆ B ， B ⊆ C A\subseteq B，B\subseteq C A⊆B，B⊆C，则 A ⊆ C A\subseteq C A⊆C

空集、全集、幂集是3个特殊集合，它们在集合论中的地位非常重要。

不含任何元素的集合为空集，记作 ∅ \varnothing ∅，空集是惟一的，它是任何集合的子集。

含有 n n n个元素的集合简称 n n n元集，它的含有 m ( m ≤ n ) m(m≤n) m(m≤n)个元素的子集叫做它的 m m m元子集。

任给一个 n n n元集，可用下列方法求出它的全部子集： 例：设 A = 0 , 1 , 2 A={0,1,2} A=0,1,2，写出 A A A的全部子集： 解 将 A A A的子集分类如下： 0元子集，即空集： ∅ \varnothing ∅ 1元子集，即单元集： { 0 } , { 1 } , { 2 } \{0\},\{1\},\{2\} {0},{1},{2} 2元子集： { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } \{0,1\},\{0,2\},\{1,2\} {0,1},{0,2},{1,2} 3元子集： { 0 , 1 , 2 } \{0,1,2\} {0,1,2}

一般来说，对于 n n n元集 A A A，它的0元子集有 C n 0 C_n^0 Cn0​个，1元子集有 C n 1 C_n^1 Cn1​个，… m元子集有 C n m C_n^m Cnm​个，… n元子集有 C n n C_n^n Cnn​个，全部子集有 C n 0 + C n 1 + . . . + C n n = 2 n C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n Cn0​+Cn1​+...+Cnn​=2n个。

在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将这个集合称为全集，记作 E E E。

设 A A A是一个集合，由 A A A的所有子集组成的集合，称为 A A A的幂集，记作 P ( A ) P( A ) P(A)或 2 A 2^A 2A。也可写成 P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A)=\{x|x \subseteq A\} P(A)={x∣x⊆A}。若集合 A A A 是由 n n n 个元素所组成的有限集合，即 ∣ A ∣ ＝ n | A | ＝ n ∣A∣＝n ，则幂集是由 2 n 2^n 2n个元素组成，即 ∣ P ( A ) ∣ = 2 n |P( A )|=2^n ∣P(A)∣=2n。 对任意集合 A A A，有 ∅ ⊆ A \varnothing \subseteq A ∅⊆A和 A ⊆ A A\subseteq A A⊆A，因此有 ∅ ∈ P ( A ) \varnothing \in P(A) ∅∈P(A)和 A ∈ P ( A ) A \in P(A) A∈P(A)。

两个集合 A A A 和 B B B 之间存在并 ∪ \cup ∪、交 ∩ \cap ∩、差 － － －、补 ∼ \sim ∼和对称差 ⊕ \oplus ⊕等五种运算，通过这些运算就能得到新的集合。

由以上定义可以推出以下关系式： A ⊆ A ∪ B , B ⊆ A ∪ B , A ∩ B ⊆ A , A ∩ B ⊆ B , A ∩ B ⊆ A ∪ B , A − B = A ∩ ∼ B A\subseteq A \cup B,B\subseteq A \cup B,\\ A\cap B\subseteq A,A\cap B\subseteq B,\\ A\cap B \subseteq A \cup B,\\ A-B=A\cap \sim B A⊆A∪B,B⊆A∪B,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩B⊆A∪B,A−B=A∩∼B

下面以恒等式的形式给出集合运算满足的主要运算律，其中 A 、 B 、 C A、B、C A、B、C是任意集合和 E E E是全集。 1.交换律 A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A \cup B=B \cup A\\ A \cap B=B \cap A A∪B=B∪AA∩B=B∩A 2.结合律 ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A \cup B)\cup C=A \cup (B \cup C)\\ (A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3.分配律 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C)\\ A\cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 4.幂等律 A ∪ A = A A ∩ A = A A \cup A = A\\ A \cap A = A A∪A=AA∩A=A 5.同一律 A ∪ ∅ = A A ∩ E = A A \cup \varnothing = A\\ A \cap E=A A∪∅=AA∩E=A 6.零律 A ∪ E = E A ∩ ∅ = ∅ A \cup E = E\\ A \cap \varnothing = \varnothing A∪E=EA∩∅=∅ 7.补余律 A ∪ ∼ A = E A ∩ ∼ A = ∅ A \cup \sim A=E\\ A \cap \sim A=\varnothing A∪∼A=EA∩∼A=∅ 8.吸收率 A ∪ ( A ∩ B ) = A A ∩ ( A ∪ B ) = A A \cup (A \cap B)=A\\ A \cap (A \cup B)=A A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A 9.德摩根律 A − ( B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C ) A − ( B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C ) ∼ ( B ∪ C ) = ∼ B ∩ ∼ C ∼ ( B ∩ C ) = ∼ B ∪ ∼ C ∼ ∅ = E ∼ E = ∅ A-(B \cup C)=(A-B) \cap (A-C)\\ A-(B \cap C)=(A-B) \cup (A-C)\\ \sim (B \cup C)=\sim B \cap \sim C\\ \sim (B \cap C)=\sim B \cup \sim C\\ \sim \varnothing =E\\ \sim E=\varnothing A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)∼(B∪C)=∼B∩∼C∼(B∩C)=∼B∪∼C∼∅=E∼E=∅ 10.双补率 ∼ ( ∼ A ) = A \sim (\sim A)=A ∼(∼A)=A

对称差运算也有类似的性质： 11.交换律 A ⊕ B = B ⊕ A A \oplus B = B \oplus A A⊕B=B⊕A 12.结合律 ( A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) (A \oplus B) \oplus C =A \oplus (B \oplus C) (A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C) 13.分配律 A ∩ ( B ⊕ C ) = ( A ∩ B ) ⊕ ( A ∩ C ) A \cap (B \oplus C)=(A\cap B) \oplus (A \cap C) A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C) 14.同一律 A ⊕ ∅ = A A \oplus \varnothing =A A⊕∅=A 15.零律 A ⊕ A = ∅ A \oplus A = \varnothing A⊕A=∅ 16. A ⊕ ( A ⊕ B ) = B A \oplus (A \oplus B)=B A⊕(A⊕B)=B

计算有限集合中元素的个数就是有限集合的计数问题。 假设 A A A是一个有限集合， ∣ A ∣ |A| ∣A∣表示有限集合 A A A中元素的个数。

定理：对任意两个有限集合 A A A和 B B B，则： ∣ A ∪ B ∣ ≤ ∣ A ∣ + ∣ B ∣ ∣ A ∩ B ∣ ≤ m i n { ∣ A ∣ , ∣ B ∣ } ∣ A − B ∣ ≥ ∣ A ∣ − ∣ B ∣ ∣ A ⊕ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − 2 ∣ A ∩ B ∣ |A \cup B|≤|A|+|B|\\ |A \cap B|≤min\{|A|,|B|\}\\ |A-B|≥|A|-|B|\\ |A \oplus B|=|A|+|B|-2|A \cap B| ∣A∪B∣≤∣A∣+∣B∣∣A∩B∣≤min{∣A∣,∣B∣}∣A−B∣≥∣A∣−∣B∣∣A⊕B∣=∣A∣+∣B∣−2∣A∩B∣

在计数时，为了使若干集合重叠部分的元素的个数不被重复计算，人们研究出一种计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于这些集合中的所有元素个数先分别计算出来，然后再把计数时重复计算的元素个数排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥定理。

容斥定理（简单情况）： 对任意两个有限集合 A A A 和 B B B ，有 ∣ A ∪ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − ∣ A ∩ B ∣ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B| ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣ 其中， ∣ A ∣ 、 ∣ B ∣ |A|、|B| ∣A∣、∣B∣分别表示 A A A ， B B B 的元素个数

推广结论：对于任意三个有限集合 A , B , C A , B , C A,B,C ，有 ∣ A ∪ B ∪ C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ − ∣ A ∩ B ∣ − ∣ A ∩ C ∣ − ∣ B ∩ C ∣ + ∣ A ∩ B ∩ C ∣ |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C| ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣

进一步推广到 n n n个集合的情况，若 n n n是自然数，且 n > 1 ， A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n n>1，A_1,A_2,A_3,...,A_n n>1，A1​,A2​,A3​,...,An​为有限集合，则 ∣ A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ . . . ∪ A n ∣ = ∑ i = 1 n ∣ A i ∣ − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ∣ A i ∩ A j ∣ + ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n ∣ A i ∩ A j ∩ A k ∣ + . . . + ( − 1 ) n − 1 ∣ A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n ∣ |A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup...\cup A_n|=\\ \sum^n_{i=1}|A_i|-\sum_{1≤i