知识回顾:

设 R 是一个非空集合.在 R 上定义了两个代数运算，一个叫加法： a+b ，一个叫乘法: ab .

同时R 还满足以下条件:

(1) R 对于加法成一个交换群；

(2)乘法有结合律，即:对于任意 a,b,c\in R ,有 (ab)c=a(bc) ;

(3)乘法对加法有分配律，即:对于任意 a,b,c\in R ,有 a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca .

这种代数结构我们就称为环.

如果环 R 的乘法满足交换律,那么称 R 为交换环.如果环的乘法含有单位元,则称它为幺环，交换的幺环称为交换幺环.

设 R 是一个环，任取 a,b\in R , a\ne 0,b\ne 0 ,若 ab=0 ,则称 a(b) 为 R 的一个左(右)零因子.

环 R 的左零因子和右零因子统称为 R 的零因子.

如果环 R 没有零因子，则消去律成立.

如果环 R 是交换幺环，且R 没有零因子，那么环 R 是整环.

\color{green}{R中有单位元(幺元),且有零元(环的定义).\\ 如果单位元等于零元,则\forall a\in R,a=1a=0a=0,环里就0这1个元素.\\ 这里设零元不等于单位元.此时R中至少含有两个元素.}

如果环 R 是交换幺环，且R 中全体非零元素 R^*=R-\{0\} 对乘法成一群,那么环 R 称为域.在域的定义中去掉乘法交换的条件,得到体(除环).

域一定是整环.

\color{green}{R是交换幺环,而如果域存在零因子,即:在R^*=R-\{0\}中存在a,b满足ab=0则ab\notin R^*，而由于R^*是一个群,应该满足封闭性,这就产生了矛盾.}

定理:有限整环一定是域.

\color{purple}{有限整环R是交换幺环,且没有零因子\rightarrow R^*=R-\{0\}对乘法成一群} .

设 R 是一个含有 n 个元素的整环,设 R=\{a_1,a_2,……,a_n\} , a_1=1 是 R 中的单位元.

从 R 里取出一个非零元素 c ，左乘 R 得到 cR=\{ca_1,ca_2,……,ca_n\} .

易得这些元素两两不同.

\color{green}{由于环R没有零因子,故它满足消去律.则对于ca_i=ca_j,有a_i=a_j.}

由于环对乘法运算满足封闭性,则 cR=R .

则一定有 a_k\in R 满足 ca_k=1 ,则 \forall c\in R^* , c^{-1}\in R^* ，即:存在逆元.

加上这是个幺环，以及环对乘法满足封闭性和结合律,故这是个乘法群.二

例1:整数集合 \mathbf{Z} 关于通常的加法和乘法构成一个整环.

关于这个集合是环的证明可见匀速小子：环论学习(1):环的定义及性质。

\color{blue}{下面根据整环的定义证明}

由于是普通的数的乘法,自然满足交换律.

环中的幺元是1.

\forall a,b\in \mathbf{Z}(a\ne 0,b\ne 0) , ab\ne 0 ,故没有零因子。

即:这是一个整环.

例2: \mathbf{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbf{Z},i=\sqrt{-1}\} 关于复数的加法和乘法组成一个整环，通常称之为高斯整环.

\color{blue}{环的定义:}

\color{blue}{封闭性:}

复数就是形如 a+bi 的数，其中 a,b 是实数.

对于复数a_1+b_1i,a_2+b_2i\in \mathbf{Z}[i] ， (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i 是复数.

(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i 是复数.

故满足封闭性.

\color{blue}{关于加法成一个交换群}

因为这是普通复数的加法，故满足交换律.所有复数能成一个群.

\color{blue}{乘法有结合律,乘法对加法有分配律:}

因为这是普通复数的加法和乘法，故满足条件.

\color{blue}{整环的定义:}

因为是普通复数的乘法，故关于乘法满足交换律。幺元是1.

\forall a,b\in \mathbf{Z}[i](a\ne 0,b\ne 0) , ab\ne 0 ,故没有零因子.

得证.

例3:整数模 n的剩余类 \mathbf{Z}_n 是环.

定义 \mathbf{Z}_n 里的运算 \forall a,b\in \mathbf{Z}_n , +:=(a+b)\%n , ×:=(a+b)\%n .

\color{blue}{封闭性:}

由于 \mathbf{Z}_n 包含了0到 n-1 中所有的数, (a+b)\%n,(ab)\%n\in \mathbf{Z}_n .

\color{blue}{关于加法构成一个交换群} .

因为 (a+b)\%n 的加法是普通的数的加法,故满足交换律.

是群的证明可以看群论的内容.

\color{blue}{乘法满足结合律:}

因为 (ab)\%n 里是普通的数的乘法故满足结合律.

\color{blue}{乘法对加法有分配律:}

因为这是普通的数的加法和乘法，故满足条件.

对于幺环中的单位元 e ,考虑其中的加法群，可能存在正整数 m 满足 me=0 .

例如:环 \mathbf{Z}_n 的单位元1有 n*1(\% \quad n)=0 .

设 R 是一个有单位元 e 的环.若 n 是满足 ne=0 的最小正整数，则称 n 为环的特征,记为 char(R)=n .

如果不存在这样的 n ,则称 R 的特征为0，即: char(R)=0 .

例如：环 \mathbf{Z}_n 的特征为 n ,环 \mathbf{Z} 为0.

若 char(R)=n ,且 ke=0 ,则 n|k .

证明:

n , k 是正整数,而不是环里的元素, ke=e+……+e(k个e)=0 。

加法运算下就是个交换群,此时 char(R) 就是 o(e) ,由群元素的阶相关知识可证明.

匀速小子：群论学习(6)：群元素的阶

若 char(R)=n ,则对于任意 x\in R , nx=0 .

证明: nx=nex=0x=0 .

设 R 是一个有单位元 e 且无零因子的环,则 char(R)=0 或者是某个素数.

证明:

\color{blue}{单位元e就是零元}

此时 R=\{0\} ，此时对于任意的 n 都有 n×0=0 .此时最小正整数是1，但我们默认 char(R)=0 。

\color{blue}{单位元e\ne 0}

此时假设 char(R)=n 是合数.

\color{green}{如果char(R)=1,则e=0}

设 n=xy(x,y>1) ,则 (se)(te)=(st)(ee)=ne=0

由于 R 中无零因子,而 se,te\in R ,则 se=0 或者 te=0 ,这就与 n 是最小的产生矛盾.