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边缘概率密度是二维随机变量中的重点内容, 经常作为一个重要的考点, 必须掌握。
一 定义
对二维随机变量(X, Y) ,分量X, 或者Y的概率密度称为 (X, Y)的边缘概率密度,简称边缘密度,记为 或者 。 边缘密度 或者 可由 二维随机变量的密度f(x, y)求出:
注意: 在实际题目中计算时,不可能代入到 , 因为那将导致算不出来。 而是根据实际区域来确定。 1.1 二维正态分布的边缘密度 若二维随机变是(X, Y) 服从二维正态分布N( ), 则随机变量X与Y分别服从正态分布N(), N(). 边缘密度为 , 二 结论 从定义看出, 求X的边缘密度 是对y求积分, 会带上dy, 因此要确定y的上下限, 注意确定上下限 时作一个垂直于x轴的箭头线, 求Y的边缘密度 是对x求积分, 会带上dx, 因此要确定x的上下限, 注意确定上下限 时作一个垂直于y轴的箭头线。 三 看例题题1: 设二维连续型随机变量(X, Y)在区域D= {, }上服从均匀分布, 求(X, Y)的边缘密度。 解 先画图 计算积分区域D的面积S = = 所以(X, Y)的密度函数为 关于X的边缘密度, 是对y积分, 先画图,并作箭头线垂直于X轴。 当 时 , 所以, 关于Y的边缘密度, 是对x积分, 先画图, 并作箭头线垂直于Y轴。 当 时, . 所以 ~~~~~~ 题2 设二维随机变量(X, Y) 的密度函数为 , 分布函数F(x, y), 则F(3, 2) =____________. 解: 对于二维随机变量, 密度为一个常数, 可以判定为均匀分布 !!! 我们要明白: 分布函数的本质就是求概率。对于此题, 先画图,图中画阴影区域占比即为F(3, 2)的值 , 所以 F(3, 2) = 题3 设二维连续型随机变量(X, Y)的密度为, 求 P{X>} 解: 因为 密度函数不是常数, 所以绝不能用均匀分布的面积占比的方法。先画图, 要求P{X>1/2}, 需要用二重积分解决,虽然求的概率只跟X有关。 积分区域D就是图中的三角形, 所以 P{X>} = 题4 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 ,且X与Y相互独立, 求P{X>Y}. 解: 此题,我们先画图, 此图只是用于辅助理解。 要求解P{X>Y}, 就是求解在积分区域D: X-Y>0下, 对密度函数进行二重积分。 题目4来源于教材P85第五题,原题目分别给出X, Y的概率密度,这是一个根据边缘密度函数的题目, 一定要掌握这类型题的解题方法: 先画图, 接着求出积分积分区域, 再作二重积分, 要特别注意积分上下限是怎么确定, 计算积分最后得出结果。 这种方法也是一种套路, 一种路数,必须掌握。 因为下次我们看到的题可能是P{X |
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