为什么分布函数的概率分布为均匀分布?
我先来解决这样一个常见的问题:已知随机变量X的概率分布,求Y=g(X)的概率分布(分布律或者概率密度函数) 这种问题有三种类型(如下图) 我们以随机变量X为连续型,随机变量Y也为连续型为例解一道题 设随机变量X的概率密度为
Y
=
X
2
Y=X^2
Y=X2,求Y的概率密度
f
Y
(
y
)
f_Y(y)
fY(y) 大体思路: 将
F
Y
(
y
)
=
P
(
Y
≤
y
)
F_Y(y)=P(Y\leq y)
FY(y)=P(Y≤y)中
Y
Y
Y替换为
X
2
X^2
X2,然后反解出
X
X
X的取值范围(随机变量X,取值x),最终可以利用
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)表示出
F
Y
(
y
)
F_Y(y)
FY(y),而
F
X
(
x
)
F_X(x)
FX(x)由
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)积分得到
我们画出
Y
=
X
2
Y=X^2
Y=X2的图像 我们现在根据上图来求
F
Y
(
y
)
=
P
(
Y
≤
y
)
F_Y(y)=P(Y\leq y)
FY(y)=P(Y≤y) 接下来分情况反解X的取值范围 ![](https://img-blog.csdnimg.cn/21156ad7f8074401998cac3b0581c56c.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/9f011ee152bf4e5294b8ee769cbcf99b.png#pic_center)
上面的问题解决了,接下来回到本文的主题:为什么分布函数的概率分布为均匀分布? 其实这里的分布函数就是上面提到的
Y
=
g
(
x
)
=
X
2
Y=g(x)=X^2
Y=g(x)=X2,随机变量X与Y的映射之前是通过其他函数来完成,这里比较特殊一点,采用了分布函数来映射,即
Y
=
F
(
X
)
Y=F(X)
Y=F(X) 分布函数图像如下图所示:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/1f60b77da8d040ef9617f016c806dea3.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/0fb0ded2b8c944038bfa1bf5094cce2a.png#pic_center)
2019年数一14题 ![](https://img-blog.csdnimg.cn/6dd4a19e5ca44d818ad77b43dae4a47e.png#pic_center)
|