简单说一下加、减、乘法的原理：

加法竖式计算的原理是交换律和结合律，因为每一个数（特别是有理数），都可以写成如下形式

其中， ，而两个数相加则是进行这样的运算

将求和符号展开，然后交换各项，把10的指数相同的两项放在一起，然后再运用结合律，加上括号，计算结果如果超过9，也就是有了进位，就把进位分离出来，把进位放到和进位的10的指数相同的那两项那里。这就是加法竖式计算的原理。

减法竖式的计算原理与加法实际上是相同的，只不过如果遇到较小数减较大数的情形，就需要“借位”——也就是加法的交换律和结合律的再次运用，然后每个10的指数相同的两项相减，结果相加，得到最终的结果。不过借位也有一个有意思的地方，就是如果需要借位的前一位是零，那就要连续向前“点两个点”，其实质是（以 举例）

是负数，而竖式计算的各位不能是负数，因此需要借位，然而十位是 ，借位意味着自己就变成负数了，因此十位只能向百位借位，这样就有

然后个位就可以向十位借位了，即

（这也是找0所在位借位，0在之后的计算当作9的原因）

于是这个计算就一目了然了

乘法的原理与加减法不同，它首先基于乘法对加法的分配律（不要称其为“乘法分配律”，称为“分配律”即可），最后得到的结果相加，用的就是加法计算的竖式计算原理。

除法的原理也是分配律，除法对加减法的分配律只能操作被除数，不能操作除数，除法分配律的表达式是

除法的竖式计算，就是把被除数分成几个除数的倍数分别进行除法运算的过程，而除法过程中的商和除数相乘，被除数与之前乘积相减的过程，实际上就是拆数的过程。

除法要计算的是商，而竖式计算就是通过求出各位的商来求出最终结果的，因此运用除法分配律拆数的时候要遵循这一原则，也就是逐位求商的原则，须知每一位数都是0~9范围内的正整数。

举一个例子，

首先，需要把这个数拆成各个位的数相加的形式，然后每一位都分别除以 ，即

这其实就是除法竖式计算中为什么商和被除数要逐位对齐的原理所在。

我们继续，要注意竖式计算计算的是商的每一位数，而除法的过程通常就是我们所说的“试商”的过程，试商的目的在于求出这一位的商以确保这一位的余数不超过除数。我们继续刚才的计算：

这是千位数除以除数，因为太小了，所以商零，并且留下余数6，然而，一个数的前导零（即数字最高位前面的零）通常是不需要写出来的，因此前几位商零的过程在竖式计算中是不写出来的。一般的做法是，带着这个较小的数字和后面的一位组合，一起除以除数（这实际上是余数与被除数后面几位结合的过程，后面会讲到）。我们知道 ，因此这个除法就可以转化为

这也就正好符合我们除法竖式计算的习惯，先计算

其中， 是不能被 整除的，必然带有余数，而之前我们提到，竖式计算要计算的是每一位的商，因此这里不要求把 完整地计算出来，只需计算出其整数部分即可，但必须注意有余数存在，这就开始需要试商了，假设商为 ，这时可以写成

呃，我写了省略号，因为没算完啊。因为 不等于 ，因此还要求出“余数”，这就是省略号暂时省略的部分，即求“余数”的过程，除法的竖式计算过程是，先用这位的商乘余数，作为减数写在被除数的下面，然后逐位相减得到余数，这一过程的原理实际是（注意横式运算的优先级是先乘除后加减）

得到的余数需要继续作为被除数参与后面的除法运算，而且商 实际上是将被除数拆成了 ，因此后面必须加上“ ”。

括号里的那一部分，正好就是我们先商乘除数作为减数，然后被除数减这个减数的过程。计算刚才的式子，得

是的，我是故意商错的，为的就是讲解为什么余数需要小于除数，这里也很清楚地看到， 仍然可以进行上述的运算过程，得到的商的那一部分与刚才的 数位是相同的，我们继续计算，这次补上 ，即

一眼看出来， ，而且在同一个数位上。

继续计算

至此， ， 的整数位为零，这一位的商就彻底求出来了。

然后我们再把它代回到最一开始的除法题中，即 中，刚刚我们已经将这个算式等值变换（保持整个算式的运算结果不变的变换）成了

然后就可以将 代入其中，得

这里我们知道 是商的十位，而 是十位上的余数，前面可利用乘法分配律展开，写成

其中 表示商的十位是 ，后面的 是十位上的余数，但除法运算并没有完结，至少整个算式的整数部分还没求出来呢。因此就有了除法竖式后面的运算——将被除数后面的几位“落下来”，拼成新的被除数，计算后面各位的商，实际上这是除法分配律的反向运用。文字说明可能不太容易看懂，我们不妨继续刚才的计算过程

（十位上的余数与个位结合，形成个位上的被除数，因此中间的 变成了 ）

接下来还是试商法，这次直接用准确结果 ，这个虽然是整除的，但是我还是需要把计算出竖式最下端的 的过程写出来，继续

这里求出余数为 ，但除法很多都是有余数的，因此还要把余数表现出来，这样上面这个式子应该等值变换为

最后计算，

这是最后，整除了，但如果不是整除的情形，就比如一开始我们要计算的 ，最后还有余数 ，如果这就是一道除法计算题的话，那么最后的结果应当是这样个样子的

，这就是有余数的除法。

接下来，整数和有限小数，可以看作小数点后面（有限小数最后一位后面）有无穷个零，因此可以继续添零求商求出商的十分位、百分位、千分位等小数位的值，但一般得到的都是无限循环小数，通常不需要计算出来（精确估算也只需计算出其中几位即可），如果除数的质因数只有 或 ，那么对应的商才是有限小数。

竖式计算提供了方法，横式描述阐释了原理。但阐释原理所用的横式太麻烦了，因此就有了竖式计算这个家伙简化了横式推导过程，直接求出结果了。

P. S.：值得一提的是，后面我们做除法的时候，我们一般不上来就竖式，而是先写成分数并约分。

接下来说一说为什么除法从最高位除起。这首先要明确，为什么要采用竖式计算。刚刚讲到了竖式计算的原理，即竖式计算所用到的运算定律，以及如何运用这些定律。竖式计算是对运算定律的运用，而运用的目的在于求出结果中的每一位，因此竖式计算要求相同数位必须对齐，而这个要求则是为了准确求出结果中的每一位数。加法的竖式计算，两个一位加数对应唯一的一位数；减法的竖式计算，大的数减小的数当然结果唯一，小的数减去大的数，需要通过借位来解决，我们知道 ，这就是说，为了求得一位结果，最多只需要向更高的一位借1即可，最后的结果，当然也是唯一的。一位数的乘法，结果是唯一的，一位数的乘法再进行加法，结果也是唯一的，多位数的乘法最后的加法，是加法，每一位都有唯一确定的结果。

根据加、减、乘的竖式运算我们知道，每一位结果都需要唯一确定，那么除法呢？

我们来看从后往前除（仅说除数是一位数的除法）……

较大的数除以较小的数，比如

如果个位是零，那么在不借位的时候我们认为个位是 ，则十位将无法继续运算， 没有借位的可能。

再比如， ，遇上 ，究竟要向更高一位借多少呢？

从每位数的确定性的角度看，从后向前除是不可能的了，因为拆分数字就已经成为了第一个难题。而最终使得除法只能从前向后算的，是余数的存在。余数产生于低位数，因此也就不能从低位向高位（也就是从后向前）去运算了。