原创 孔令之 赵润卓 等 物理与工程

摘 要

法拉第电磁感应定律及其应用是电磁学中的重要内容。本文设计制作了一种新型电磁感应定律实验装置，该装置主要由摆、亥姆霍兹线圈、探测线圈、数据采集电路组成，利用LabVIEW虚拟仪器技术进行数据的采集、存储与实时显示，利用Matlab软件编程对产生的周期性感应电动势脉冲信号进行分析，为定量验证电磁感应定律和磁场测量实验提供了一种新的方法。该装置实验内容丰富，结构简单，操作便捷，制作成本低，在物理实验教学中具有一定的推广价值。

关键词 法拉第电磁感应定律;亥姆霍兹线圈；摆；定量分析

AbstractFaraday，s law of electromagnetic induction and its application are important contents in electromagnetics. This paper reports the design of a novel experimental device, which is composed of a pendulum, Helmholtz coils, detection coils, and a data acquisition circuit. It uses LabVIEW，s virtual instrument technology for data acquisition, storage and real-time display, and Matlab software programming for analysis of the generated periodic pulse signal. This device provides a new method for quantitatively verifying the law of electromagnetic induction and magnetic field measurement experiment. The device has many advantages such as abundant features for experiments, simple structure, convenient operation, low production cost. It is a valuable facility for teaching class of physics experiments.

法拉第电磁感应定律是电磁学中非常重要的定律，它揭示了电现象和磁现象的相互关系。由此原理制作的发电机、变压器等设备推动人类迈进了电气时代[1]。

在物理实验教学中，受到仪器设备和实验内容的限制，法拉第电磁感应实验往往作为演示实验，而且实验内容较为单一，缺乏精确的定量分析，这些限制了该实验在大学基础物理实验中的推广。针对以上问题，很多实验教师对现有的实验装置进行了改进。通过控制磁铁的移动或磁铁的数量改变探测线圈的磁通量，并通过改变探测线圈匝数等方式实现定量测量和分析[2-6]。还有一些实验装置将电磁感应与自由落体[7]、弹簧振子[8，9]、单摆[10，11]结合起来，进一步丰富了实验内容。随着LabVIEW虚拟仪器技术在物理实验中的应用，其数据记录处理及可视化功能为法拉第电磁感应定律实验提供了一种新的改进方法[12]。这些改进解决了以往演示实验中的个别问题，非常需要将这些成果集中起来，在一个实验装置集成，以便推动相关实验教学的发展。

我们在现有的法拉第电磁感应实验装置基础上，设计一种新型的法拉第电磁感应实验装置，把摆的运动与亥姆霍兹线圈产生的磁场结合起来。亥姆霍兹线圈产生的磁场均匀性高、便于测量且连续可调，为定量探究法拉第电磁感应定律提供了极佳的条件。我们利用LabVIEW虚拟仪器实现数据的采集、存储与可视化，并用Matlab编程进行数据处理，设计出一套较为完善的法拉第电磁感应定律定量探究装置。通过分析该装置产生的感应电动势脉冲，能够定量探究法拉第电磁感应定律，并可以开展磁场测量实验。本装置可改变的实验参数多，测量准确，实验内容丰富，适用于大学物理实验教学。

1 实验原理

本文设计的新型法拉第电磁感应实验装置实验原理图如图1所示。我们构造一个复摆模型，利用亥姆霍兹线圈产生连续可调且稳定的磁场，当摆上的探测线圈穿过亥姆霍兹线圈产生的磁场时，由于探测线圈中磁通量发生变化，从而在探测线圈中产生感应电动势。在摆的摆动过程中，探测线圈会周期性地通过磁场，产生一系列衰减的感应电动势脉冲,感应电动势脉冲如图2所示。

根据法拉第电磁感应定律,探测线圈产生的感应电动势为

当探测线圈离磁场较远时，磁场感应强度较弱，该处的磁通量Φ0可以忽略。将摆从最高点（距离磁场最远的位置）摆至最低点（亥姆霍兹线圈中心位置）的时间范围作为感生电动势信号ε的积分区间，由式（2）和式（3）可得亥姆霍兹线圈中心的磁感应强度为

所以利用该装置，通过分析感应电动势与时间的关系曲线，可以实现磁感应强度的精确测量。

感应电动势大小与摆的角速度的关系为

式中θ为半圆摆离开平衡位置的角度。由式（5）可知，感应电动势信号是由磁场的空间变化率与探测线圈的角速度综合作用的结果。通过对亥姆霍兹线圈磁场的空间分布的模拟，我们发现当探测线圈离磁场较远时，磁场较弱且随空间变化较为平缓，因此感应电动势信号几乎为零；随着探测线圈接近亥姆霍兹线圈，磁场的空间变化率增大，且角速度在不断增加，探测线圈中的感应电动势会迅速增大；当摆至最低点附近时，探测线圈处于亥姆霍兹线圈磁场中较为均匀的区域，磁场的空间变化率变小，直至在最低点处（θ=0）降为0，感应电动势也变为零。当线圈继续摆动，会产生一个反向的感应电动势信号。我们发现，产生电动势峰值的位置（θ=θp）与最低点位置非常接近。因此，在摆角较大时，峰值处角速度

近似等于最低点角速度

因此

上述讨论中忽略了电磁阻尼的影响。由于摆动过程中，探测线圈在经过最低点附近的极短时间内（约0.1s）产生的感应电动势峰值在百毫伏量级，而其余绝大部分的摆动周期内产生的感应电动势在毫伏量级；此外，探测线圈在进入与离开磁场时会产生两个间隔很近、方向相反的电动势峰值，起到一定补偿效果。这些因素使得线圈中感应电流较弱，产生的电磁力对摆动的影响可忽略，因此可不计电磁阻尼，探测线圈的运动符合复摆的运动特征[13]。

由于本实验中摆的阻尼较小，在一个摆动周期内可近似地由能量守恒得到最低点处的角速度

因此可以通过测量初始摆角θ0与小角度摆动周期T算出ωmax，从而验证εp与ωmax的线性关系，这是验证法拉第电磁感应定律的一个方法。其中T的测定可使用秒表或光电门，按照常规的方法测得。

在复摆连续摆动的过程中，摆动幅度不断减小，每次摆动的初始角度θ0难以直接测量。本实验采用了一种无需测量初始角度θ0的方法来验证上述关系。通过对式（5）求导可以得到

ωmax正比于

即为感应电动势随时间的变化曲线在摆至零点处的斜率，可从实验测得的ε-t曲线中得出。因此，可通过验证εp与

的线性关系来定量探究εp与ωmax的线性关系。此外利用该实验装置还可以定量探究感应电动势与探测线圈、磁感应强度的关系。

2 实验装置

实验装置系统框图如图3所示，主要由磁场产生模块、复摆模块、采样模块、数据采集软件组成。

1） 复摆的制作：利用环氧树脂材料设计制作了直径为500mm的半圆摆，结合支撑架、转轴、轴承组成了一个转动稳定的复摆，在复摆的底部固定有探测线圈固定装置，方便更换不同的探测线圈。利用漆包线绕制了不同匝数的探测线圈，如图4所示。探测线圈直径为11.5mm，所用漆包线截面积为0.12mm2t。

2） 磁场产生模块及理论模拟：设计制作亥姆霍兹线圈用于产生连续可调的稳定磁场，如图5所示。线圈内径为5.80cm，外径为9.60cm,线圈匝数200匝。线圈在通以0~6A电流时，可产生0~280Gs的磁场。

取两线圈之间的中心点为坐标原点建立空间直角坐标系，两线圈平行于XOY平面放置，且Z轴过两线圈的中心，θ设为亥姆霍兹线圈上的电流元与环心的连线与X轴的夹角,R为亥姆霍兹线圈的半径，如图6所示。

由毕奥萨伐尔定律可求出亥姆霍兹线圈在空间中产生的磁场[1]。由于线圈具有沿Z轴方向的旋转对称性，不妨取场点坐标为Q（x,0,z）,磁场z方向分量大小为

使用Comsol进行磁场模拟或使用Matlab进行数值计算可以得到亥姆霍兹线圈内部的磁场分布，图7为在z=-0.8~0.8cm的空间磁场随x的分布（I=6A）。从磁场分布图可以看出，以亥姆霍兹线圈中心点为原点，在x=-1cm到x=1cm的范围内可以近似认为磁场为匀强磁场，所以当探测线圈在最低点时，穿过探测线圈的磁场较为均匀，这使磁场的测量更加准确。

3） 数据采样模块：采用24位模数转换芯片ADS1256对感应电动势脉冲信号进行采样ADS1256是一种低噪声高分辨率的模数转换器，利用其差分采样功能可以实现微弱信号的精确采样[14]。

4） 数据采集软件：采用LabVIEW图形化编程软件编写上位机程序，实现数据的实时采集、显示和存储。

3 实验结果与分析

由于摆的往复运动，装置可以同时记录多个摆动周期内产生的感应电动势脉冲信号数据；由于空气阻力及机械摩擦等因素的影响，在摆动过程中摆幅会不断衰减，相当于进行一系列自发改变初始高度的测量。若初始时将摆放在同一高度释放进行多次测量，每次测量得到的一系列衰减的脉冲信号中相同位置的脉冲将依次对应相同的初始高度，因此利用本装置可获得大量实验数据。

3.1 探究感应电动势与探测线圈匝数的关系

εp为感应电动势的峰值，通过理论分析可知，探测线圈匝数越多，产生的εp就越大，且二者呈线性关系。保持磁感应强度不变，复摆从一定角度释放，测得一系列感应电动势脉冲信号，波形如图9所示。

改变探测线圈（120匝，180匝，240匝，300匝，360匝），复摆从同一位置释放，重复测量，通过对不同脉冲峰值进行分析，可以得出探测线圈匝数与感应电动势峰值的关系曲线，如图10所示。从图中可以看出，感应电动势峰值与探测线圈匝数呈线性关系。

3.2 探究感应电动势与磁感应强度的关系

亥姆霍兹线圈轴线上的磁感应强度与所通电流成正比。保持探测线圈匝数不变，改变亥姆霍兹线圈电流，通过分析感应电动势和电流的大小，就可以验证感应电动势与磁感应强度的关系。探测线圈为360匝时，感应电动势与通电电流的关系如图11所示。可见，感应电动势与磁感应强度呈线性关系。

3.3 探究感应电动势与角速度的关系

通过理论分析，我们得知ωmax正比于

，可以通过验证εp与

的线性关系来间接探究角速度与感应电动势的关系。固定探测线圈匝数为360匝，改变亥姆霍兹线圈电流，测量数据。取感应电动势一个脉冲的正负峰值的绝对值的平均值，记为εp，εp与

的关系如图12所示。

从图中可以看出，εp与

呈线性关系，间接验证了角速度与感应电动势的线性关系。

3.4 磁场的测量

本文测量磁场时运用电磁感应定律，通过探测线圈在磁场中运动的方法进行测量，与常用的霍尔效应器件测量磁场的方法有所不同。本文采用的方法与利用霍尔效应的方法相比测量精度较低，但可以在有运动存在的情形里测量磁场，可与摆动结合进行物理实验教学的设计。利用式（3）可计算磁场的测量值。对于I=6A，磁场标准值B0=279Gs，测量结果如表1所示。磁场测量的相对误差在3%左右。

4 误差分析

我们在实验中发现，随着摆动幅角θ0（即一次摆动周期内的最大摆角）的逐渐减小，所测得的亥姆霍兹线圈磁感应强度逐渐增大。图13为300匝的探测线圈在6A电流下，利用不同感应电动势脉冲计算出的磁感应强度大小。

图中纵坐标为磁感应强度的测量值，横坐标为计算时所用电动势脉冲的序号。从图上可以看出，随着摆角的逐渐减小，即脉冲序号的增大，通过测量数据计算出的磁感应强度逐渐变大，这是因为随着摆角的逐渐减小，初始位置磁通逐渐变大，不能近似为零。亥姆霍兹线圈产生的磁场随空间分布情况如图14所示。可见离磁场较远（摆幅较大）时Φ0=0不失为合理的近似；在x>6cm，约对应幅角θ0>13° 的区域，随着摆动幅度逐渐减小，Φ0小幅增加；在幅角θ0